← Bài giảng
Vectơ trong không gian
Mọi định nghĩa và quy tắc vectơ của lớp 10 (ba điểm, hình bình hành, nhân với số, tích vô hướng) giữ nguyên trong không gian. Điều mới là quy tắc hình hộp.
Kiến thức
Quy tắc hình hộp: ABCD.A'B'C'D' là hình hộp thì vectơ AB + vectơ AD + vectơ AA' = vectơ AC' — tổng ba cạnh chung gốc là đường chéo chung gốc ấy (xem hình).
Ba vectơ ĐỒNG PHẲNG khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Góc giữa hai vectơ và tích vô hướng định nghĩa như trong mặt phẳng: vectơ u · vectơ v = |u| · |v| · cos(u, v).
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Rút gọn: vectơ AB + vectơ B'C' + vectơ DD'.
- vectơ B'C' = vectơ BC và vectơ DD' = vectơ CC' (các cạnh song song, cùng hướng, cùng độ dài).
- vectơ AB + vectơ BC + vectơ CC' = vectơ AC'.
Đáp số: vectơ AC'
Ví dụ 2: Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 2, AD = 3, AA' = 6. Tính |vectơ AB + vectơ AD + vectơ AA'|.
- Theo quy tắc hình hộp, tổng bằng vectơ AC'.
- AC'² = 2² + 3² + 6² = 49.
Đáp số: 7
Lỗi hay gặp
- Đồng phẳng nhầm sang cùng phương. Đôi một song song là mạnh hơn hẳn đồng phẳng; đồng phẳng chỉ đòi cùng song song một mặt.
- Quy tắc hình hộp sai đỉnh đối. Đường chéo xuất phát từ đỉnh gốc và kết thúc ở đỉnh ĐỐI DIỆN nó.
- Đồng phẳng nhầm sang cùng độ dài. Đồng phẳng nói về HƯỚNG của ba vectơ, không nói gì tới độ dài.
- Tưởng ba cạnh hình hộp đồng phẳng. Ba cạnh chung gốc của hình hộp không cùng một mặt phẳng — đó là điều làm nên ba chiều.
- Quy tắc hình hộp nhầm đường chéo đáy. Tổng ba vectơ cạnh là đường chéo của cả HÌNH HỘP, không phải đường chéo mặt đáy.
- Quy tắc hình hộp thiếu cạnh bên. Phải cộng đủ BA vectơ cạnh chung gốc thì mới ra đường chéo hình hộp.
- Tưởng vectơ phụ thuộc chỗ đặt. Vectơ nào cũng dời được về chung một gốc, nên "cùng gốc" không phải điều kiện gì.
- Hệ thức trọng tâm quên đổi dấu. Tổng ba vectơ từ G bằng vectơ không, nên hai vectơ kia bằng ĐỐI của vectơ còn lại.
- Tưởng hai đường chéo hình hộp bằng nhau. Hai đường chéo cắt nhau tại tâm nhưng là hai vectơ khác hướng.
- Quy tắc ba điểm sai điểm nối. Chữ cuối của vectơ trước phải TRÙNG chữ đầu của vectơ sau thì mới nối được.
- Tưởng cách phân tích không duy nhất. Với một cơ sở đã chọn, mỗi vectơ có ĐÚNG MỘT bộ hệ số.
- Nhầm trung điểm với trọng tâm. Trung điểm đi với hệ số 2, trọng tâm đi với hệ số 3.
- Quy tắc ba điểm sai thứ tự. Vectơ tổng lấy chữ ĐẦU của vectơ trước và chữ CUỐI của vectơ sau, đúng thứ tự đó.
Lưu ý khi làm bài
- Ba vectơ AB, AD, AA' KHÔNG đồng phẳng; còn ba vectơ AB, AD, AC thì đồng phẳng (cùng nằm trong mặt ABCD).
Ghi nhớ trước khi luyện
- Quy tắc hình hộp: tổng ba vectơ cạnh chung gốc là vectơ ĐƯỜNG CHÉO chung gốc ấy.
- Ba vectơ đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nào đó.
- Ba cạnh chung gốc của hình hộp KHÔNG đồng phẳng — đó là thứ làm nên ba chiều.