Hệ trục toạ độ trong không gian

Thêm trục Oz vuông góc với mặt phẳng Oxy, mỗi điểm trong không gian có đúng một bộ ba toạ độ (x; y; z).

Kiến thức

Ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc tại O. Ba mặt phẳng toạ độ: (Oxy), (Oyz), (Ozx).

M(x; y; z): hạ M xuống (Oxy) được M'(x; y; 0); x, y đọc trên hai trục đáy, z là độ cao (xem hình).

Hình chiếu lên một mặt phẳng toạ độ: thành phần ứng với trục vuông góc mặt ấy thành 0. Hình chiếu lên một trục: giữ đúng thành phần của trục ấy.

Đối xứng qua (Oxy) đổi dấu z; qua trục Ox đổi dấu y và z; qua gốc O đổi dấu cả ba.

vectơ AB = (x_B − x_A; y_B − y_A; z_B − z_A); |AB| = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)² + (z_B − z_A)²).

Ví dụ 1: Cho M(2; −3; 5). Tìm hình chiếu của M lên (Oxy), lên trục Oz, và điểm đối xứng với M qua (Oxy).

Đáp số: (2; −3; 0), (0; 0; 5) và (2; −3; −5)

Ví dụ 2: Cho A(1; 2; 3), B(3; 0; 4). Tính độ dài AB và toạ độ trung điểm I của AB.

Đáp số: AB = 3, I(2; 1; 7/2)

Lỗi hay gặp

Độ dài cộng thẳng ba thành phần. Phải bình phương từng thành phần rồi mới cộng và lấy căn.
Tính độ dài quên lấy căn. Em dừng ở bình phương độ dài; còn một bước lấy căn bậc hai nữa.
Lấy đối xứng quên đổi dấu. Đối xứng phải đổi dấu ít nhất một thành phần, không giữ nguyên điểm cũ.
Nhầm hình chiếu với điểm đối xứng. Hình chiếu thì cho toạ độ về 0; đối xứng mới đổi dấu toạ độ ấy.
Trung điểm lấy hiệu hai toạ độ. Trung điểm là trung bình CỘNG của hai đầu mút.
Trung điểm quên chia đôi. Cộng hai toạ độ xong còn phải chia cho 2, làm đủ trên cả ba thành phần.
Hình chiếu giữ nguyên cả ba toạ độ. Chiếu lên một mặt phẳng thì toạ độ vuông góc với mặt ấy phải thành 0.
Lấy đối xứng đổi dấu thừa. Đếm xem gương giữ lại mấy chiều: qua mặt phẳng chỉ đổi dấu MỘT thành phần.

"Chiếu" làm một thành phần thành 0; "đối xứng" làm thành phần ấy đổi dấu — hai phép dễ nhầm với nhau.

Ghi nhớ trước khi luyện