Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc nghiêng của một đường so với mặt phẳng đo bằng góc giữa đường ấy và "cái bóng" của nó trên mặt phẳng.

Kiến thức

Nếu d không vuông góc (P): góc giữa d và (P) là góc giữa d và hình chiếu vuông góc d' của d lên (P).

d vuông góc (P) thì góc bằng 90°; d song song hoặc nằm trong (P) thì góc bằng 0°.

Cách làm: tìm giao điểm của d với (P), tìm hình chiếu của một điểm khác trên d xuống (P), nối lại được d'.

Ví dụ 1: Hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh 1, SA vuông góc đáy, SA = √2. Tính góc giữa SC và (ABCD).

A là hình chiếu của S xuống đáy, nên AC là hình chiếu của SC: góc cần tìm là góc SCA.
AC = √2 (đường chéo hình vuông cạnh 1).
tan SCA = SA / AC = √2 / √2 = 1.

Đáp số: 45°

Ví dụ 2: Hình chóp S.ABCD, SA vuông góc đáy, SA = √3, AB = 1. Tính góc giữa SB và (ABCD).

Đáp số: 60°

Lỗi hay gặp

Góc đường–mặt lấy nhầm góc phụ. Em tính góc ở đỉnh kia của tam giác vuông; góc cần tìm là góc tại chân hình chiếu.
Tưởng mọi cạnh bên cùng một góc. Hình chiếu của mỗi cạnh bên khác nhau, nên góc với đáy cũng khác nhau.
Góc đường–mặt lấy nhầm pháp tuyến. Góc với đường vuông góc mặt là góc PHỤ của góc cần tìm, không phải chính nó.
Đường vuông góc mặt mà cho góc 0°. Đường vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa chúng bằng 90°.
Nhầm góc hai đường với góc hai vectơ. Góc giữa hai đường thẳng chỉ tới 90°, còn góc giữa hai vectơ tới 180°.
Góc đường–mặt lấy đường bất kì. Phải lấy HÌNH CHIẾU vuông góc của đường ấy lên mặt phẳng, không lấy đường tuỳ ý.
Đoán bừa góc trong hình lập phương. Đặt vào hệ toạ độ cạnh bằng 1 rồi tính, đừng đoán theo hình vẽ.
Tưởng góc hai đường luôn tù. Góc giữa hai đường thẳng luôn nằm trong khoảng từ 0° tới 90°.

Ghi nhớ trước khi luyện