Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Mua vở và bút mà tiền có hạn, sản xuất hai loại hàng mà giờ máy có hạn — những ràng buộc như thế viết thành bất phương trình hai ẩn, và tập nghiệm của nó là một nửa mặt phẳng.
Kiến thức
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by < c (hoặc ≤, >, ≥), với a, b không đồng thời bằng 0. Mỗi nghiệm là một cặp số (x₀; y₀).
Đường thẳng d: ax + by = c chia mặt phẳng thành hai nửa; miền nghiệm là một trong hai nửa đó.
Cách xác định: vẽ d; lấy một điểm thử không nằm trên d (thường là O(0; 0)); nếu điểm thử thoả mãn thì miền nghiệm là nửa chứa nó, nếu không thì là nửa kia.
Dấu ≤ hoặc ≥: miền nghiệm gồm cả d. Dấu < hoặc >: bỏ d (vẽ d nét đứt).
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Cặp số (1; 2) có phải là nghiệm của bất phương trình 2x − y < 3 không?
- Thay x = 1, y = 2: 2 · 1 − 2 = 0.
- 0 < 3 là đúng.
Đáp số: Có
Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm của bất phương trình x + 2y ≤ 4.
- Vẽ d: x + 2y = 4, đi qua (4; 0) và (0; 2).
- Thử O(0; 0): 0 ≤ 4 đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ d chứa O.
- Dấu ≤ nên lấy cả đường thẳng d (xem hình).
Đáp số: Nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc O, kể cả d
Lỗi hay gặp
- Chọn nhầm nửa mặt phẳng. Thay một điểm thử (thường là gốc O) vào: đúng thì miền nghiệm chứa điểm ấy, sai thì là nửa kia.
- Bỏ qua dấu bằng của bất phương trình. Dấu < và > không nhận điểm trên bờ; dấu ≤ và ≥ thì nhận. Điểm làm vế trái bằng đúng vế phải cần xét riêng.
- Lập bất phương trình ngược chiều. "Không quá" là ≤, "ít nhất" là ≥ — đọc kĩ điều kiện của bài toán.
- Gán hệ số nhầm biến. Hệ số của x đi với đại lượng mà x đếm, hệ số của y đi với đại lượng mà y đếm.
- Thay nhầm x với y. Trong cặp (x; y), số đứng trước là x, số đứng sau là y.
Lưu ý khi làm bài
- Đường d đi qua O thì không thử bằng O được — chọn một điểm khác, ví dụ (1; 0).
Ghi nhớ trước khi luyện
- Cặp (x₀; y₀) là nghiệm khi thay vào được bất đẳng thức đúng.
- Miền nghiệm là một nửa mặt phẳng bờ d: thử một điểm không thuộc d, thường là O(0; 0).
- Dấu < hoặc > thì không lấy bờ; dấu ≤ hoặc ≥ thì lấy cả bờ.