Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Nhiều ràng buộc cùng lúc cho một hệ bất phương trình. Miền nghiệm thường là một đa giác, và bài toán "lãi lớn nhất, chi phí nhỏ nhất" được giải chỉ bằng cách xét các đỉnh của nó.
Kiến thức
Nghiệm của hệ là cặp số thoả mãn ĐỒNG THỜI mọi bất phương trình trong hệ; miền nghiệm của hệ là phần giao các miền nghiệm.
Khi miền nghiệm là một đa giác, biểu thức F = ax + by đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại các ĐỈNH của đa giác.
Cách làm: vẽ miền nghiệm, tìm toạ độ các đỉnh (giao điểm của từng cặp đường bờ), tính F tại mỗi đỉnh rồi so sánh.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của F = 2x + y trên miền nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 5, x ≤ 3.
- Miền nghiệm là tứ giác OABC với O(0; 0), A(3; 0), B(3; 2), C(0; 5) (xem hình); B là giao của x = 3 và x + y = 5.
- F(O) = 0, F(A) = 6, F(B) = 8, F(C) = 5.
Đáp số: Giá trị lớn nhất là 8, đạt tại B(3; 2)
Ví dụ 2: Cặp số (2; 1) có là nghiệm của hệ x + y ≤ 4 và x − y ≥ 0 không?
- 2 + 1 = 3 ≤ 4: đúng.
- 2 − 1 = 1 ≥ 0: đúng.
Đáp số: Có
Lỗi hay gặp
- Chỉ kiểm một bất phương trình. Nghiệm của hệ phải thoả mãn đồng thời mọi bất phương trình trong hệ.
- Không xét đủ các đỉnh. Giá trị lớn nhất có thể nằm ở đỉnh là giao của hai đường bờ — phải tính F ở MỌI đỉnh.
- Chọn nhầm nửa mặt phẳng. Thay một điểm thử (thường là gốc O) vào: đúng thì miền nghiệm chứa điểm ấy, sai thì là nửa kia.
- Lấy nhầm giá trị lớn và nhỏ. Tính F ở mọi đỉnh rồi chọn đúng giá trị đề hỏi: lớn nhất hay nhỏ nhất.
Lưu ý khi làm bài
- Đỉnh "giữa" (giao của hai đường bờ xiên) hay bị bỏ sót, mà giá trị lớn nhất lại thường nằm ở đó.
Ghi nhớ trước khi luyện
- Nghiệm của hệ phải thoả mãn ĐỒNG THỜI mọi bất phương trình của hệ.
- Miền nghiệm là miền đa giác; F = ax + by đạt lớn nhất, nhỏ nhất tại một ĐỈNH của nó.
- Tìm đủ các đỉnh (giao điểm của từng cặp đường bờ) rồi tính F tại mỗi đỉnh.