Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Tiệm cận là đường thẳng mà đồ thị tiến sát mãi khi đi ra xa — cho biết hình dáng đồ thị ở "vô cực".

Kiến thức

x = a là tiệm cận đứng nếu f(x) → +∞ hoặc −∞ khi x → a⁺ hoặc x → a⁻.

y = b là tiệm cận ngang nếu f(x) → b khi x → +∞ hoặc x → −∞.

y = ax + b (a ≠ 0) là tiệm cận xiên nếu f(x) − (ax + b) → 0 khi x → ±∞.

y = (ax + b)/(cx + d) (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) có tiệm cận đứng x = −d/c và tiệm cận ngang y = a/c (xem hình).

Ví dụ 1: Tìm các tiệm cận của y = (x + 1)/(x − 1).

Đáp số: x = 1 và y = 1

Ví dụ 2: Tìm tiệm cận xiên của y = (x² + 1)/x.

Đáp số: y = x

Lỗi hay gặp

Nhầm tiệm cận đứng với ngang. Tiệm cận đứng có dạng x = a (từ mẫu); tiệm cận ngang có dạng y = b (giới hạn tại vô cực).
Sai dấu phương trình tiệm cận. Mẫu x - p = 0 cho tiệm cận đứng x = p, giữ đúng dấu.
Tìm sai tiệm cận xiên. Chia đa thức: phần THƯƠNG (bậc nhất) là tiệm cận xiên.
Không rút gọn trước khi tìm tiệm cận. Nhân tử chung của tử và mẫu không tạo tiệm cận đứng — rút gọn trước.

Ghi nhớ trước khi luyện

x = a là tiệm cận đứng khi f(x) → ±∞ lúc x → a⁺ hoặc x → a⁻.
y = b là tiệm cận ngang khi f(x) → b lúc x → ±∞; y = ax + b là tiệm cận xiên khi f(x) - (ax + b) → 0.