← Bài giảng
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Ghép mọi công cụ lại: tập xác định, chiều biến thiên, cực trị, tiệm cận, giao điểm với các trục — rồi mới vẽ.
Kiến thức
Sơ đồ khảo sát: tập xác định → đạo hàm và chiều biến thiên → cực trị → giới hạn, tiệm cận → bảng biến thiên → điểm đặc biệt → vẽ đồ thị.
Đồ thị hàm bậc ba nhận điểm uốn (hoành độ là nghiệm của y'' = 0) làm tâm đối xứng.
Đồ thị y = (ax + b)/(cx + d) nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
Số giao điểm của đồ thị với trục hoành bằng số nghiệm của phương trình f(x) = 0.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Tìm tâm đối xứng của đồ thị y = x³ − 3x² + 1.
- y' = 3x² − 6x; y'' = 6x − 6 = 0 ⇔ x = 1.
- y(1) = 1 − 3 + 1 = −1.
Đáp số: I(1; −1)
Ví dụ 2: Đồ thị y = x³ − 3x + 1 cắt trục hoành tại mấy điểm?
- Cực đại y(−1) = 3 > 0, cực tiểu y(1) = −1 < 0.
- Hai cực trị trái dấu: đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm.
Đáp số: 3 điểm
Lỗi hay gặp
- Đảo hoành độ với tung độ. Toạ độ viết (x; y): hoành độ trước, tung độ sau.
- Quên tính tung độ. Tìm được hoành độ rồi phải thay vào hàm số để có tung độ.
- Đếm sai số giao điểm. Xét dấu giá trị cực đại và cực tiểu: trái dấu mới cắt trục hoành 3 lần.
Lưu ý khi làm bài
- Giao với trục tung: cho x = 0; giao với trục hoành: giải y = 0.
Ghi nhớ trước khi luyện
- Đồ thị hàm bậc ba nhận điểm có hoành độ là nghiệm của y'' = 0 làm tâm đối xứng.
- Đồ thị y = (ax + b)/(cx + d) nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
- Số giao điểm của đồ thị bậc ba với trục hoành suy ra từ dấu của giá trị cực đại, cực tiểu.