Phương trình mặt phẳng
Giống đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ: biết một điểm và một vectơ pháp tuyến là viết được phương trình mặt phẳng.
Kiến thức
Vectơ pháp tuyến n ≠ 0 có giá vuông góc với mặt phẳng.
Mặt phẳng qua M(x₀; y₀; z₀), pháp tuyến n = (a; b; c): a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0, khai triển thành ax + by + cz + d = 0.
Biết hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng: pháp tuyến là tích có hướng của chúng.
Mặt phẳng cắt ba trục tại (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) với abc ≠ 0: x/a + y/b + z/c = 1 (phương trình đoạn chắn).
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng qua M(1; −2; 3) có pháp tuyến n = (2; 1; −1).
- 2(x − 1) + 1 · (y + 2) − 1 · (z − 3) = 0.
- Khai triển: 2x − 2 + y + 2 − z + 3 = 0.
Đáp số: 2x + y − z + 3 = 0
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng qua A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3).
- Dùng phương trình đoạn chắn: x/1 + y/2 + z/3 = 1.
- Nhân cả hai vế với 6.
Đáp số: 6x + 3y + 2z − 6 = 0
Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng qua M(1; 1; 1) và song song với 2x − y + 3z + 5 = 0.
- Dùng chung pháp tuyến (2; −1; 3): 2x − y + 3z + d = 0.
- Thay M: 2 − 1 + 3 + d = 0 nên d = −4.
Đáp số: 2x − y + 3z − 4 = 0
Lỗi hay gặp
- Nhầm toạ độ điểm với pháp tuyến. Ba hệ số của x, y, z là HƯỚNG của mặt phẳng, không phải một điểm thuộc nó.
- Mặt phẳng quên đổi dấu hằng số. Khai triển a(x − x₀) cho ra −a·x₀, nhớ giữ dấu trừ khi thu gọn.
- Quên thay điểm đã cho vào. Em chép lại phương trình cũ; mặt phẳng mới đi qua M nên hằng số phải đổi.
- Tưởng pháp tuyến là duy nhất. Nhân pháp tuyến với số khác 0 thì vẫn vuông góc mặt phẳng, nên có vô số.
Lưu ý khi làm bài
- Ba hệ số của x, y, z là pháp tuyến; hằng số d KHÔNG thuộc pháp tuyến.
Ghi nhớ trước khi luyện
- Qua M(x₀; y₀; z₀) với pháp tuyến (a; b; c): a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0.
- Ba hệ số của x, y, z trong phương trình CHÍNH LÀ vectơ pháp tuyến.
- Hai mặt phẳng song song thì dùng chung một pháp tuyến, chỉ khác hằng số tự do.