← Bài giảng
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Công thức giống hệt khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ở lớp 10, chỉ thêm thành phần z.
Kiến thức
Khoảng cách từ M(x₀; y₀; z₀) đến (P): ax + by + cz + d = 0 là |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²).
Hai mặt phẳng song song: lấy một điểm bất kì trên mặt này rồi tính khoảng cách tới mặt kia.
M thuộc (P) khi và chỉ khi thay toạ độ M vào vế trái được 0.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ M(1; 2; 3) đến (P): 2x − y + 2z + 1 = 0.
- Tử: |2 · 1 − 2 + 2 · 3 + 1| = |7| = 7.
- Mẫu: √(4 + 1 + 4) = 3.
Đáp số: 7/3
Ví dụ 2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng x + 2y + 2z − 1 = 0 và x + 2y + 2z + 5 = 0.
- Hai mặt phẳng cùng pháp tuyến (1; 2; 2), khác hằng số: song song.
- Lấy A(1; 0; 0) trên mặt thứ nhất: d = |1 + 5| / √(1 + 4 + 4) = 6/3.
Đáp số: 2
Lỗi hay gặp
- Khoảng cách quên chia mẫu. Tính xong tử số còn phải chia cho căn của tổng bình phương ba hệ số.
- Mẫu số khoảng cách quên lấy căn. Mẫu là CĂN của a² + b² + c², không phải chính tổng đó.
- Điểm thuộc mặt mà cho khoảng cách 1. Điểm thuộc mặt phẳng thì thay vào được 0, nên khoảng cách bằng 0.
Lưu ý khi làm bài
- Nhớ trị tuyệt đối ở tử và căn ở mẫu — thiếu căn là chia cho 9 thay vì 3.
Ghi nhớ trước khi luyện
- d(M, (P)) = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| chia √(a² + b² + c²).
- Trị tuyệt đối ở tử là thứ bảo đảm khoảng cách không âm.
- Điểm thuộc mặt phẳng thì thay vào được 0, nên khoảng cách bằng 0.