Phương trình đường thẳng trong không gian
Trong không gian, đường thẳng không có "vectơ pháp tuyến" (vô số hướng vuông góc với nó). Đường thẳng được viết qua một điểm và một vectơ CHỈ PHƯƠNG.
Kiến thức
Đường thẳng qua M(x₀; y₀; z₀), chỉ phương u = (a; b; c): phương trình tham số x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct.
Nếu a, b, c đều khác 0: phương trình chính tắc (x − x₀)/a = (y − y₀)/b = (z − z₀)/c.
Điểm N thuộc đường thẳng khi có MỘT giá trị t làm đúng cả ba phương trình.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A(1; 2; −1), chỉ phương u = (2; −1; 3).
- Điểm gốc (1; 2; −1), hệ số trước t là (2; −1; 3).
- Ghép từng thành phần.
Đáp số: x = 1 + 2t, y = 2 − t, z = −1 + 3t
Ví dụ 2: Điểm N(5; 0; 5) có thuộc đường thẳng x = 1 + 2t, y = 2 − t, z = −1 + 3t không?
- Từ x: 1 + 2t = 5 nên t = 2.
- Thử t = 2: y = 2 − 2 = 0, z = −1 + 6 = 5 — đúng cả hai.
Đáp số: Có (ứng với t = 2)
Ví dụ 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A(1; 0; 2) và B(3; 1; 0).
- Chỉ phương vectơ AB = (2; 1; −2).
- Qua A: x = 1 + 2t, y = t, z = 2 − 2t.
Đáp số: x = 1 + 2t, y = t, z = 2 − 2t
Lỗi hay gặp
- Nhầm điểm với vectơ chỉ phương. Hệ số đứng trước t là chỉ phương; phần hằng số mới là một điểm trên đường.
- Vectơ chỉ phương đổi dấu thừa. Đọc thẳng hệ số của t, không cần đổi dấu gì cả.
- Chỉ phương lấy tổng hai điểm. Tổng hai điểm không có ý nghĩa hình học nào; phải lấy hiệu.
- Đổi chỗ điểm và vectơ chỉ phương. Phần hằng số là ĐIỂM, phần nhân với t là HƯỚNG; đừng đổi chỗ hai phần ấy.
- Lấy toạ độ điểm B làm chỉ phương. Vectơ chỉ phương của AB là B TRỪ A, không phải chính toạ độ của B.
- Quên thay giá trị tham số vào. Phải thay giá trị t đề cho vào cả ba phương trình thì mới ra điểm cần tìm.
- Tưởng phương trình tham số là duy nhất. Đổi điểm gốc hoặc đổi vectơ chỉ phương đều cho một phương trình khác của cùng đường ấy.
Lưu ý khi làm bài
- Kiểm tra điểm thuộc đường thẳng: phải CÙNG MỘT t cho cả ba toạ độ; mỗi toạ độ một t khác nhau là không thuộc.
Ghi nhớ trước khi luyện
- Trong phương trình tham số, hệ số đứng trước t là vectơ CHỈ PHƯƠNG.
- Phần hằng số là toạ độ một ĐIỂM nằm trên đường thẳng — ứng với t = 0.
- Một đường thẳng có VÔ SỐ phương trình tham số, vì đổi điểm gốc hay đổi chỉ phương đều được.