← Bài giảng
Công thức tính góc trong không gian
Ba loại góc — giữa hai đường, giữa hai mặt, giữa đường và mặt — đều tính từ vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến.
Kiến thức
Hai đường thẳng có chỉ phương u₁, u₂: cos φ = |u₁ · u₂| / (|u₁| · |u₂|).
Hai mặt phẳng có pháp tuyến n₁, n₂: cos φ = |n₁ · n₂| / (|n₁| · |n₂|).
Đường thẳng (chỉ phương u) và mặt phẳng (pháp tuyến n): sin φ = |u · n| / (|u| · |n|) — dùng SIN, vì pháp tuyến vuông góc với mặt phẳng.
Cả ba góc đều từ 0° đến 90°.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Tính góc giữa hai mặt phẳng x + y − 1 = 0 và y + z + 2 = 0.
- n₁ = (1; 1; 0), n₂ = (0; 1; 1); n₁ · n₂ = 1.
- cos φ = 1 / (√2 · √2) = 1/2.
Đáp số: 60°
Ví dụ 2: Tính góc giữa đường thẳng có chỉ phương u = (1; 0; 1) và mặt phẳng z = 0.
- Pháp tuyến của mặt phẳng z = 0 là n = (0; 0; 1); u · n = 1.
- sin φ = 1 / (√2 · 1) = 1/√2.
Đáp số: 45°
Ví dụ 3: Hai đường thẳng có chỉ phương (1; 2; 2) và (2; −2; 1). Tính góc giữa chúng.
- Tích vô hướng: 2 − 4 + 2 = 0.
- cos φ = 0.
Đáp số: 90°
Lỗi hay gặp
- Góc hai mặt quên trị tuyệt đối. Góc giữa hai mặt phẳng luôn từ 0° tới 90°, nên cosin phải lấy trị tuyệt đối.
- Lấy nhầm góc phụ. Em lấy 90° trừ đi kết quả; góc cần tìm chính là góc vừa tính được.
- Trộn pháp tuyến với chỉ phương. Trộn hai loại vectơ là ra góc phụ; phải dùng cùng một loại cho cả hai đối tượng.
- Tích bằng 0 lại tưởng song song. Tích vô hướng hai pháp tuyến bằng 0 nghĩa là hai mặt phẳng VUÔNG GÓC.
- Góc hai mặt lấy nhầm chỉ phương. Góc giữa hai mặt phẳng tính qua hai vectơ PHÁP TUYẾN.
Lưu ý khi làm bài
- Góc đường – mặt dùng SIN; dùng nhầm cos là ra góc phụ (90° − φ).
Ghi nhớ trước khi luyện
- Góc giữa hai mặt phẳng tính qua hai vectơ PHÁP TUYẾN, có lấy trị tuyệt đối của cosin.
- Trị tuyệt đối là thứ ép kết quả về khoảng 0°–90°; thiếu nó là ra góc bù.
- Tích vô hướng hai pháp tuyến bằng 0 nghĩa là hai mặt phẳng VUÔNG GÓC.