← Bài giảng
Nguyên hàm
Nguyên hàm là phép ngược của đạo hàm: biết tốc độ thay đổi, tìm lại đại lượng ban đầu.
Kiến thức
F là một nguyên hàm của f trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K; mọi nguyên hàm có dạng F(x) + C, viết ∫f(x) dx = F(x) + C.
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1); ∫(1/x) dx = ln|x| + C.
∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C; ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C.
∫kf(x) dx = k∫f(x) dx; ∫[f(x) ± g(x)] dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Tìm ∫(6x² − 4x + 5) dx.
- Nguyên hàm từng số hạng: 6x³/3 − 4x²/2 + 5x.
- Rút gọn và thêm C.
Đáp số: 2x³ − 2x² + 5x + C
Ví dụ 2: Tìm F(x) là nguyên hàm của f(x) = 2x thoả F(1) = 4.
- F(x) = x² + C.
- F(1) = 1 + C = 4 nên C = 3.
Đáp số: F(x) = x² + 3
Lỗi hay gặp
- Quên hằng số C. Họ nguyên hàm luôn có thêm hằng số C.
- Không dùng điều kiện để tìm C. Điều kiện F(x₀) = k dùng để xác định C trước khi tính giá trị khác.
- Lấy đạo hàm thay vì nguyên hàm. Nguyên hàm là phép ngược của đạo hàm: số mũ TĂNG lên 1.
- Sai dấu nguyên hàm lượng giác. ∫sin x dx = -cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C.
- Quên chia cho số mũ mới. ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C: phải chia cho n + 1.
Lưu ý khi làm bài
- Kiểm tra nguyên hàm bằng cách lấy đạo hàm lại.
Ghi nhớ trước khi luyện
- F là nguyên hàm của f khi F' = f; họ nguyên hàm là F(x) + C.
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ -1); ∫(1/x) dx = ln|x| + C; ∫cos x dx = sin x + C; ∫sin x dx = -cos x + C; ∫eˣ dx = eˣ + C.