← Bài giảng
Ứng dụng đạo hàm giải quyết bài toán thực tiễn
Làm hộp tốn ít vật liệu nhất, sản xuất có chi phí thấp nhất, rào vườn được diện tích lớn nhất — đều là bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Kiến thức
Bước 1: chọn ẩn x (một đại lượng thay đổi được), tìm điều kiện của x.
Bước 2: biểu diễn đại lượng cần tối ưu thành hàm số f(x).
Bước 3: tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f trên miền điều kiện, rồi trả lời theo ngữ cảnh.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Cắt bốn góc của tấm bìa vuông cạnh 12 cm bốn hình vuông cạnh x rồi gập thành hộp không nắp. Tìm x để thể tích lớn nhất.
- V(x) = x(12 − 2x)², với 0 < x < 6.
- V'(x) = (12 − 2x)(12 − 6x) = 0 ⇔ x = 2 (loại x = 6).
- V(2) = 2 · 64 = 128.
Đáp số: x = 2 cm, thể tích lớn nhất 128 cm³
Lỗi hay gặp
- Lấy hoành độ thay cho giá trị. Giá trị cực trị (hay giá trị lớn nhất) là y, không phải x.
- Chọn sai nghiệm của đạo hàm. Giải đúng phương trình đạo hàm bằng 0 và loại nghiệm ngoài miền điều kiện.
- Lập sai hàm cần tối ưu. Viết đúng đại lượng theo ẩn: diện tích hình chữ nhật là tích hai cạnh, cạnh kia bằng nửa chu vi trừ cạnh này.
Lưu ý khi làm bài
- Đừng quên điều kiện của ẩn — nghiệm của đạo hàm nằm ngoài điều kiện thì loại.
Ghi nhớ trước khi luyện
- Chọn ẩn, tìm điều kiện của ẩn, lập hàm số của đại lượng cần tối ưu.
- Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên miền điều kiện.