Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Có toạ độ thì cộng, nhân, tích vô hướng đều thành phép tính trên từng thành phần — và có thêm một phép mới: tích có hướng.

Kiến thức

u = (x₁; y₁; z₁), v = (x₂; y₂; z₂): u + v = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂); k · u = (kx₁; ky₁; kz₁).

Tích vô hướng: u · v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ (một SỐ). u vuông góc v khi và chỉ khi u · v = 0.

Tích có hướng: [u, v] = (y₁z₂ − z₁y₂; z₁x₂ − x₁z₂; x₁y₂ − y₁x₂) — một VECTƠ vuông góc với cả u và v.

Ví dụ 1: Cho u = (1; 2; −1), v = (2; 0; 3). Tính u + v và u · v.

Đáp số: u + v = (3; 2; 2), u · v = −1

Ví dụ 2: Cùng u = (1; 2; −1), v = (2; 0; 3). Tính [u, v].

Đáp số: [u, v] = (6; −5; −4)

Lỗi hay gặp

Cộng vectơ lại làm thành trừ. Đề hỏi tổng nên phải cộng từng cặp thành phần tương ứng.
Nhầm tổng vectơ với tích vô hướng. Tổng hai vectơ là một VECTƠ; tích vô hướng mới là một số.
Tích có hướng nhân từng cặp. Tích có hướng dùng định thức chéo, không nhân thẳng từng cặp thành phần.
Tích vô hướng sai dấu một số hạng. Cả ba số hạng đều mang dấu cộng, không có số hạng nào bị trừ.
Điều kiện vuông góc quên đổi dấu. Chuyển vế trong phương trình tích vô hướng bằng 0 thì phải đổi dấu.
Trả nhầm thành phần đã cho. Đề hỏi giá trị m, không hỏi thành phần vốn đã có sẵn trong vectơ.
Nhầm tích vô hướng với tổng toạ độ. Phải NHÂN từng cặp thành phần trước rồi mới cộng lại.
Tích có hướng quên đổi dấu ở giữa. Thành phần thứ hai của tích có hướng mang dấu ngược so với hai thành phần kia.

Tính xong tích có hướng thì nhân vô hướng lại với u và v: phải ra 0 cả hai lần. Không ra 0 là sai dấu ở đâu đó, thường ở thành phần giữa.

Ghi nhớ trước khi luyện