← Bài giảng
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cực đại chưa chắc là giá trị lớn nhất: trên một đoạn, giá trị lớn nhất có thể nằm ở đầu mút.
Kiến thức
M là giá trị lớn nhất của f trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x ∈ D và có x₀ ∈ D để f(x₀) = M.
Trên đoạn [a; b] với f liên tục: tìm các điểm xᵢ ∈ (a; b) mà f'(xᵢ) = 0 hoặc không xác định; so sánh f(a), f(b), f(xᵢ).
Trên khoảng (không có đầu mút): lập bảng biến thiên để kết luận.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y = x³ − 3x trên đoạn [0; 2].
- y' = 0 ⇔ x = ±1; chỉ x = 1 thuộc (0; 2).
- y(0) = 0; y(1) = −2; y(2) = 2.
Đáp số: Lớn nhất 2 (tại x = 2), nhỏ nhất −2 (tại x = 1)
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của y = x + 9/x trên (0; +∞).
- y' = 1 − 9/x² = 0 ⇔ x = 3.
- y' đổi dấu từ − sang +: nhỏ nhất y(3) = 6.
Đáp số: 6
Lỗi hay gặp
- Lấy hoành độ thay cho giá trị. Giá trị cực trị (hay giá trị lớn nhất) là y, không phải x.
- Dùng điểm tới hạn ngoài đoạn. Điểm làm y' = 0 nằm ngoài đoạn thì không xét.
- Quên thay vào hàm số. Tìm được điểm đạt giá trị nhỏ nhất rồi phải tính giá trị hàm số tại đó.
- Quên xét giá trị tại đầu mút. Trên đoạn, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có thể đạt ở hai đầu mút.
Lưu ý khi làm bài
- Điểm làm đạo hàm bằng 0 mà nằm ngoài đoạn thì bỏ qua.
Ghi nhớ trước khi luyện
- Trên đoạn [a; b]: tính f tại a, b và các điểm làm f' = 0 thuộc đoạn, rồi so sánh.
- Trên khoảng: lập bảng biến thiên.