← Bài giảng
Phương trình mặt cầu
Mặt cầu là tập hợp các điểm cách tâm I một khoảng R — cùng ý với đường tròn, thêm thành phần z.
Kiến thức
Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R².
Dạng khai triển x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 là mặt cầu khi a² + b² + c² − d > 0; tâm I(a; b; c), R = √(a² + b² + c² − d).
Vị trí với mặt phẳng (P): gọi h là khoảng cách từ I đến (P). h > R: không cắt; h = R: tiếp xúc; h < R: cắt theo một đường tròn.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z − 2 = 0.
- −2a = −2, −2b = 4, −2c = −6: tâm I(1; −2; 3); d = −2.
- R² = 1 + 4 + 9 − (−2) = 16.
Đáp số: I(1; −2; 3), R = 4
Ví dụ 2: Mặt cầu tâm I(1; −2; 3), bán kính 4 và mặt phẳng 2x − y + 2z + 2 = 0 có vị trí thế nào?
- h = |2 + 2 + 6 + 2| / √(4 + 1 + 4) = 12/3 = 4.
- h = R.
Đáp số: Tiếp xúc
Lỗi hay gặp
- Vế phải quên bình phương bán kính. Vế phải của phương trình mặt cầu là R BÌNH PHƯƠNG, không phải R.
- Mặt cầu sai dấu toạ độ tâm. Trong ngoặc là x TRỪ hoành độ tâm, nên tâm âm sẽ thành dấu cộng.
- Bán kính mặt cầu quên lấy căn. Em dừng ở R bình phương; còn một bước lấy căn bậc hai nữa.
- Tìm tâm quên chia đôi và đổi dấu. Tâm bằng một nửa hệ số của x, y, z rồi đổi dấu; thiếu một bước là sai.
- Tiếp xúc lại tưởng cắt theo đường tròn. Khoảng cách bằng đúng bán kính thì mặt phẳng TIẾP XÚC, giao chỉ là một điểm.
- Bán kính lấy nhầm hằng số tự do. Bán kính là căn của tổng bình phương toạ độ tâm TRỪ hằng số tự do.
Lưu ý khi làm bài
- Vế phải là R²; tâm có toạ độ NGƯỢC dấu với số trong ngoặc.
Ghi nhớ trước khi luyện
- Dạng chính tắc: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R², vế phải là R BÌNH PHƯƠNG.
- Dạng khai triển có tâm bằng nửa hệ số của x, y, z rồi đổi dấu.
- So khoảng cách d từ tâm tới mặt phẳng với R: nhỏ hơn thì cắt, bằng thì tiếp xúc, lớn hơn thì rời nhau.