← Bài giảng
Tính đơn điệu và cực trị của hàm số
Dấu của đạo hàm cho biết đồ thị đang đi lên hay đi xuống; chỗ đạo hàm đổi dấu là đỉnh hoặc đáy của đồ thị (xem hình).
Kiến thức
f'(x) > 0 trên khoảng K thì f đồng biến trên K; f'(x) < 0 thì f nghịch biến trên K.
Nếu f' đổi dấu từ + sang − khi đi qua x₀ thì x₀ là điểm cực đại; từ − sang + thì x₀ là điểm cực tiểu.
Giá trị f(x₀) tại điểm cực trị gọi là giá trị cực đại (cực tiểu); điểm (x₀; f(x₀)) là điểm cực trị của đồ thị.
Các bước: tìm tập xác định, tính f', tìm nghiệm của f' = 0, lập bảng biến thiên, kết luận.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của y = x³ − 3x.
- y' = 3x² − 3 = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 1.
- y' > 0 khi x < −1 hoặc x > 1; y' < 0 khi −1 < x < 1.
- Cực đại tại x = −1, y = 2; cực tiểu tại x = 1, y = −2.
Đáp số: Đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞), nghịch biến trên (−1; 1)
Lỗi hay gặp
- Nhầm khoảng đồng biến với nghịch biến. y' < 0 thì nghịch biến; với y' = 3(x - p)(x - q), y' âm ở GIỮA hai nghiệm.
- Lấy hoành độ thay cho giá trị. Giá trị cực trị (hay giá trị lớn nhất) là y, không phải x.
- Nhầm điểm cực đại với cực tiểu. Cực đại khi y' đổi dấu từ + sang -, cực tiểu khi từ - sang +.
- Sai dấu nghiệm của đạo hàm. Giải y' = 0 cẩn thận dấu: (x - p) = 0 cho x = p.
- Giải điều kiện sai dấu. Chuyển vế cẩn thận khi giải y'(x₀) = 0 theo tham số.
Lưu ý khi làm bài
- f'(x₀) = 0 chưa đủ để x₀ là cực trị — phải kiểm tra f' có đổi dấu không (y = x³ tại x = 0 là ví dụ).
Ghi nhớ trước khi luyện
- y' > 0 trên khoảng K thì hàm số đồng biến trên K; y' < 0 thì nghịch biến.
- y' đổi dấu từ + sang - tại x₀ thì x₀ là điểm cực đại; từ - sang + thì là điểm cực tiểu.