← Bài giảng
Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
Hai kĩ thuật chính: đưa về cùng cơ số, và đặt ẩn phụ. Với bất phương trình, thêm một câu hỏi: cơ số lớn hơn hay nhỏ hơn 1?
Kiến thức
aᵘ = aᵛ ⇔ u = v; logₐ u = logₐ v ⇔ u = v > 0.
logₐ u = k ⇔ u = aᵏ.
Bất phương trình: a > 1 thì aᵘ > aᵛ ⇔ u > v (giữ chiều); 0 < a < 1 thì đổi chiều. Với lôgarit, thêm điều kiện biểu thức dưới lôgarit dương.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Giải 4ˣ − 3 · 2ˣ + 2 = 0.
- Đặt t = 2ˣ > 0: t² − 3t + 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 2.
- 2ˣ = 1 ⇔ x = 0; 2ˣ = 2 ⇔ x = 1.
Đáp số: x = 0 hoặc x = 1
Ví dụ 2: Giải bất phương trình log₃(x − 1) < 2.
- Điều kiện x > 1.
- Cơ số 3 > 1 nên x − 1 < 9, tức x < 10.
Đáp số: S = (1; 10)
Lỗi hay gặp
- Chuyển vế sai dấu. x + b = k thì x = k - b.
- Lấy nhầm dấu bằng ở đầu mút. Bất phương trình chặt thì không lấy đầu mút.
- Quên điều kiện của lôgarit. Biểu thức dưới lôgarit phải dương — kết hợp điều kiện với nghiệm.
- Quên đổi lại biến x. Giải ra t rồi phải giải tiếp aˣ = t để tìm x.
- Nhân thay vì luỹ thừa. logₐ u = k ⇔ u = aᵏ, không phải u = a·k.
- Quên đổi chiều với cơ số nhỏ hơn 1. Cơ số trong (0; 1) thì bỏ lôgarit phải đổi chiều bất đẳng thức.
- Đổi chiều khi không cần. Cơ số lớn hơn 1 thì giữ nguyên chiều bất đẳng thức.
Lưu ý khi làm bài
- Quên điều kiện của lôgarit là lỗi hay gặp nhất: tập nghiệm phải giao với điều kiện.
Ghi nhớ trước khi luyện
- aᵘ = aᵛ ⇔ u = v; logₐ u = k ⇔ u = aᵏ.
- Bất phương trình: cơ số lớn hơn 1 giữ chiều, cơ số nhỏ hơn 1 đổi chiều.
- Luôn đặt điều kiện cho biểu thức dưới lôgarit.