Khoảng cách trong không gian

Mọi loại khoảng cách trong không gian đều quy về độ dài một đoạn VUÔNG GÓC.

Kiến thức

Khoảng cách từ M đến (P) là MH, với H là hình chiếu vuông góc của M lên (P).

Đường thẳng song song (P): khoảng cách là khoảng cách từ một điểm bất kì của đường ấy đến (P). Hai mặt phẳng song song: tương tự.

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung — đoạn thẳng cắt cả hai đường và vuông góc với cả hai.

Tam giác vuông với hai cạnh góc vuông b, c và cạnh huyền a: đường cao h = bc / a.

Ví dụ 1: Hình chóp S.ABCD đáy hình vuông, SA vuông góc đáy, SA = 3, AB = 4. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).

Kẻ AH vuông góc SB (H trên SB). BC vuông góc (SAB) nên BC vuông góc AH; vậy AH vuông góc (SBC).
SB = 5; AH = SA · AB / SB = 12/5.

Đáp số: d(A, (SBC)) = 12/5

Ví dụ 2: Hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh 2. Tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau AA' và BD.

Đáp số: √2

Lỗi hay gặp

Khoảng cách lấy nhầm cạnh bên. Cạnh bên không vuông góc với mặt phẳng cần tính, nên nó không phải khoảng cách.
Khoảng cách lấy nhầm cạnh huyền. Cạnh huyền là đoạn dài nhất; khoảng cách là ĐƯỜNG CAO hạ xuống cạnh huyền ấy.
Khoảng cách nhầm sang đường chéo mặt. Khoảng cách là đoạn VUÔNG GÓC, thường ngắn hơn đường chéo em vừa lấy.
Khoảng cách nhầm sang đường chéo khối. Đường chéo khối là đoạn dài nhất trong hình hộp, không phải khoảng cách cần tìm.
Khoảng cách nhân đôi nhầm. Không có bước nhân đôi nào trong bài này; kết quả chính là độ dài đoạn vuông góc.
Tưởng khoảng cách bằng 0. Khoảng cách chỉ bằng 0 khi hai đối tượng có điểm chung; ở đây chúng rời nhau.

Khoảng cách là đoạn VUÔNG GÓC; đoạn xiên luôn dài hơn, đo nhầm đoạn xiên là kết quả lớn quá.

Ghi nhớ trước khi luyện

Khoảng cách luôn là độ dài đoạn VUÔNG GÓC, không phải một đoạn xiên bất kì.
Hạ đường cao trong tam giác vuông: đường cao bằng tích hai cạnh góc vuông chia cạnh huyền.
Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của chúng.