Giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số tại một điểm là giá trị f(x) tiến gần khi x tiến gần điểm đó — kể cả khi tại chính điểm đó hàm số không xác định.

Kiến thức

Hàm đa thức, phân thức (mẫu khác 0 tại x₀): lim_{x→x₀} f(x) = f(x₀).

Dạng 0/0: phân tích tử và mẫu thành nhân tử, giản ước (x − x₀) rồi thay số.

Giới hạn tại vô cực của phân thức: chia cho luỹ thừa bậc cao nhất; khi x → −∞ thì √(x²) = −x.

Giới hạn một bên: x → a⁺ (x > a), x → a⁻ (x < a). Tử khác 0, mẫu dần tới 0 thì giới hạn là +∞ hoặc −∞ tuỳ dấu.

Ví dụ 1: Tính lim_{x→2} (x² − 4)/(x − 2).

Đáp số: 4

Ví dụ 2: Tính lim_{x→1⁺} 3/(x − 1).

Đáp số: +∞

Lỗi hay gặp

Sai dấu giới hạn một bên. Xét dấu của tử và dấu của mẫu khi x tiến gần a từ phía đề cho.
Quên dấu khi x → -∞. x âm thì √(x²) = |x| = -x.
Bình phương số âm ra số âm. (-2)² = 4; đặt số âm trong ngoặc khi thay vào.
Rút gọn dạng 0/0 sai. Phân tích tử thành (x - a)(x - b), giản ước x - a rồi thay x = a vào phần còn lại.

Ghi nhớ trước khi luyện