← Bài giảng
Hàm số liên tục
Hàm số liên tục có đồ thị là một nét liền, không đứt. Tính chất đơn giản ấy đủ để chứng minh một phương trình có nghiệm mà không cần giải nó.
Kiến thức
f liên tục tại x₀ khi f xác định tại x₀ và lim_{x→x₀} f(x) = f(x₀).
Hàm đa thức liên tục trên ℝ; hàm phân thức, căn, lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
Nếu f liên tục trên [a; b] và f(a) · f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong (a; b).
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Tìm m để f(x) = (x² − 9)/(x − 3) khi x ≠ 3, f(3) = m liên tục tại x = 3.
- lim_{x→3} (x² − 9)/(x − 3) = lim (x + 3) = 6.
- Cần f(3) bằng giới hạn này.
Đáp số: m = 6
Ví dụ 2: Chứng minh x³ − 3x + 1 = 0 có nghiệm trong (0; 1).
- f(x) = x³ − 3x + 1 liên tục trên [0; 1].
- f(0) = 1 > 0, f(1) = −1 < 0: trái dấu.
Đáp số: Có ít nhất một nghiệm trong (0; 1)
Lỗi hay gặp
- Không xét dấu f ở hai đầu khoảng. Tính f tại hai đầu mút: trái dấu thì có nghiệm trong khoảng.
- Không xét tập xác định. Hàm số chỉ liên tục trên tập xác định; ngoài đó không thể liên tục.
- Cho giá trị bằng 0 vì mẫu bằng 0. Liên tục cần f(x₀) bằng GIỚI HẠN, phải rút gọn để tính giới hạn.
- Giải điều kiện liên tục sai dấu. Cho hai giới hạn một bên bằng nhau rồi chuyển vế cẩn thận.
Lưu ý khi làm bài
- f(a) và f(b) cùng dấu KHÔNG chứng minh được là vô nghiệm — chỉ là định lí không áp dụng được.
Ghi nhớ trước khi luyện
- f liên tục tại x₀ khi lim_{x→x₀} f(x) = f(x₀).
- Hàm sơ cấp liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
- f liên tục trên [a; b] và f(a)·f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong (a; b).