← Bài giảng
Giới hạn của dãy số
Giới hạn trả lời câu hỏi: khi n lớn mãi, số hạng uₙ tiến sát tới đâu?
Kiến thức
lim 1/n = 0; lim qⁿ = 0 khi |q| < 1; lim c = c.
Phân thức: chia tử và mẫu cho luỹ thừa bậc cao nhất của n. Cùng bậc thì giới hạn là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất.
Cấp số nhân lùi vô hạn (|q| < 1) có tổng S = u₁/(1 − q).
Dạng ∞ − ∞ chứa căn: nhân và chia với biểu thức liên hợp.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Tính lim (3n² − n)/(2n² + 5).
- Chia tử và mẫu cho n²: (3 − 1/n)/(2 + 5/n²).
- 1/n và 5/n² dần tới 0.
Đáp số: 3/2
Ví dụ 2: Tính tổng 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + …
- Cấp số nhân lùi vô hạn: u₁ = 1, q = 1/3.
- S = 1/(1 − 1/3).
Đáp số: 3/2
Lỗi hay gặp
- Lấy tỉ số hệ số tự do. n → ∞ thì số hạng bậc cao nhất quyết định; hệ số tự do không đáng kể.
- Sai dấu công thức tổng lùi vô hạn. S = u₁/(1 - q): mẫu là 1 TRỪ q.
- Cho ∞ - ∞ bằng 0. ∞ - ∞ là dạng vô định; nhân liên hợp mới biết giới hạn.
Lưu ý khi làm bài
- ∞ − ∞ chưa chắc bằng 0: lim (√(n² + 4n) − n) = 2.
Ghi nhớ trước khi luyện
- Tử và mẫu cùng bậc: giới hạn là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất.
- Cấp số nhân lùi vô hạn (|q| < 1): S = u₁/(1 - q).
- Dạng ∞ - ∞ có căn: nhân chia với biểu thức liên hợp.