Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Hình học không gian đứng trên vài tính chất thừa nhận về điểm, đường thẳng, mặt phẳng. Hai việc đầu tiên phải làm được: xác định một mặt phẳng và tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.
Kiến thức
Một mặt phẳng được xác định khi biết: ba điểm không thẳng hàng; hoặc một đường thẳng và một điểm nằm ngoài nó; hoặc hai đường thẳng cắt nhau.
Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm đó — gọi là giao tuyến. Tìm giao tuyến: tìm HAI điểm chung rồi nối lại.
Hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nào thì CHÉO NHAU: không cắt nhau, cũng không song song.
Hình chóp S.ABCD có đỉnh S, đáy là đa giác ABCD, các mặt bên là tam giác SAB, SBC, SCD, SDA (xem hình). Tứ diện là hình chóp có đáy tam giác.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AC cắt BD tại O. Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD).
- S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng.
- O thuộc AC nên thuộc (SAC); O thuộc BD nên thuộc (SBD): O là điểm chung thứ hai.
Đáp số: Giao tuyến là đường thẳng SO
Ví dụ 2: Bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trên một mặt phẳng. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong bốn điểm ấy?
- Bốn điểm không đồng phẳng thì ba điểm bất kì không thẳng hàng, nên mỗi bộ ba xác định một mặt phẳng.
- Số bộ ba chọn từ bốn điểm: 4 (bỏ ra lần lượt từng điểm).
Đáp số: 4 mặt phẳng: (ABC), (ABD), (ACD), (BCD)
Lỗi hay gặp
- Giao tuyến lấy nhầm cạnh đáy. Cạnh đáy không đi qua đỉnh, mà đỉnh là một điểm chung của hai mặt phẳng.
- Nhầm chéo nhau với cắt nhau. Hai đường không cùng nằm trong một mặt phẳng thì chéo nhau, không thể cắt nhau.
- Giao tuyến lấy nhầm cạnh bên. Giao tuyến phải chứa MỌI điểm chung; cạnh bên chỉ chứa một trong hai điểm chung.
- Tưởng cạnh bên nằm trong mặt đáy. Đỉnh của hình chóp nằm ngoài mặt đáy, nên đường qua đỉnh không nằm trong đáy.
- Song song mà tưởng có điểm chung. Có dù chỉ một điểm chung là đã CẮT nhau, không còn song song nữa.
- Tưởng cần bốn điểm mới có mặt phẳng. Ba điểm không thẳng hàng là đủ; bốn điểm thì nói chung không đồng phẳng.
- Nhầm chéo nhau với song song. Song song đòi hai đường phải ĐỒNG PHẲNG; không đồng phẳng thì chỉ có thể chéo nhau.
- Nhầm nằm trong với song song. Đường nằm trong mặt phẳng thì có vô số điểm chung, khác hẳn song song.
- Quên trường hợp đường nằm trong mặt. Đường và mặt có ba khả năng chứ không hai: không điểm chung, một điểm chung, hoặc vô số.
- Tưởng đường trung bình chéo cạnh đáy. Ba điểm A, B, C cùng một mặt phẳng, nên MN và BC đồng phẳng chứ không chéo.
- Giao tuyến song song lại tưởng cắt. Hai mặt phẳng chứa hai đường song song thì giao tuyến song song với chúng.
- Tưởng hai mặt chỉ chung một điểm. Hai mặt phẳng phân biệt đã có một điểm chung thì chung hẳn một đường thẳng đi qua điểm ấy.
- Chung một điểm là tưởng hai mặt trùng. Chung một điểm chỉ cho ra giao tuyến; trùng nhau đòi hai mặt chung MỌI điểm.
- Tưởng hai điểm xác định mặt phẳng. Hai điểm chỉ cho một đường thẳng, mà qua một đường thẳng có vô số mặt phẳng.
Lưu ý khi làm bài
- Trên hình vẽ, hai đường "trông như cắt nhau" chưa chắc cắt nhau thật: phải cùng nằm trong một mặt phẳng mới được kéo dài tìm giao điểm.
- Không cắt nhau chưa có nghĩa là song song — còn khả năng chéo nhau.
Ghi nhớ trước khi luyện
- Ba điểm KHÔNG thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng.
- Giao tuyến của hai mặt phẳng đi qua MỌI điểm chung — tìm hai điểm chung rồi nối lại.
- Hai đường không cùng nằm trong một mặt phẳng nào thì CHÉO NHAU, không cắt và không song song.