← Bài giảng
Dãy số
Dãy số là một danh sách số có thứ tự: số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ ba… Nó có thể cho bằng công thức hoặc bằng quy tắc tính số sau từ số trước.
Kiến thức
Dãy số là hàm số u xác định trên tập số nguyên dương; kí hiệu uₙ = u(n) là số hạng thứ n.
Cho bằng công thức số hạng tổng quát (ví dụ uₙ = 2n + 1) hoặc bằng hệ thức truy hồi (u₁ cho trước, uₙ₊₁ tính theo uₙ).
Dãy tăng nếu uₙ₊₁ > uₙ với mọi n; dãy giảm nếu uₙ₊₁ < uₙ với mọi n.
Dãy bị chặn trên nếu có M với uₙ ≤ M mọi n; bị chặn dưới nếu có m với uₙ ≥ m mọi n.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Cho u₁ = 1 và uₙ₊₁ = 3uₙ − 1. Tính u₄.
- u₂ = 3 · 1 − 1 = 2; u₃ = 3 · 2 − 1 = 5.
- u₄ = 3 · 5 − 1 = 14.
Đáp số: u₄ = 14
Ví dụ 2: Xét tính tăng giảm của dãy uₙ = n/(n + 1).
- uₙ₊₁ − uₙ = (n + 1)/(n + 2) − n/(n + 1) = 1/((n + 1)(n + 2)).
- Hiệu luôn dương.
Đáp số: Dãy tăng
Lỗi hay gặp
- Lệch chỉ số số hạng. uₖ ứng với n = k; tính truy hồi thì đếm đúng số bước từ u₁.
- Nhầm dãy tăng với dãy giảm. Xét dấu hiệu uₙ₊₁ - uₙ: dương là tăng, âm là giảm.
- Coi dãy đan dấu là đơn điệu. Dãy có (-1)ⁿ hoặc công bội âm đổi dấu liên tục, không tăng cũng không giảm.
Lưu ý khi làm bài
- Dãy có thừa số (−1)ⁿ đổi dấu liên tục nên không tăng cũng không giảm.
Ghi nhớ trước khi luyện
- Dãy số là hàm số xác định trên tập số nguyên dương: n ↦ uₙ.
- Dãy tăng khi uₙ₊₁ > uₙ với mọi n; giảm khi uₙ₊₁ < uₙ.
- Dãy cho bằng hệ thức truy hồi thì tính tuần tự từ số hạng đầu.