← Bài giảng
Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Đạo hàm đo tốc độ thay đổi tức thời: vận tốc tức thời của vật, độ dốc của đồ thị tại một điểm.
Kiến thức
f'(x₀) = lim_{x→x₀} (f(x) − f(x₀))/(x − x₀), nếu giới hạn tồn tại và hữu hạn.
Ý nghĩa hình học: f'(x₀) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại M(x₀; f(x₀)); tiếp tuyến có phương trình y = f'(x₀)(x − x₀) + f(x₀) (xem hình).
Ý nghĩa vật lí: s(t) là quãng đường thì v(t₀) = s'(t₀) là vận tốc tức thời.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của y = x² tại điểm có hoành độ 1.
- y' = 2x nên hệ số góc k = 2; tiếp điểm (1; 1).
- y = 2(x − 1) + 1.
Đáp số: y = 2x − 1
Lỗi hay gặp
- Nhầm giá trị hàm với đạo hàm. Hệ số góc tiếp tuyến là f'(x₀), còn f(x₀) là tung độ tiếp điểm.
- Sai dấu x - x₀ khi viết tiếp tuyến. Trong phương trình tiếp tuyến là (x - x₀), không phải (x + x₀).
- Nhầm vận tốc tức thời với trung bình. Vận tốc tức thời là s'(t₀), không phải s(t₀)/t₀.
- Viết sai hằng số của tiếp tuyến. Tiếp tuyến y = f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀): phải trừ f'(x₀)·x₀.
- Giải phương trình đạo hàm sai dấu. Chuyển vế cẩn thận khi giải f'(x₀) = k.
Lưu ý khi làm bài
- Hệ số góc là đạo hàm tại x₀, không phải giá trị hàm số tại x₀.
Ghi nhớ trước khi luyện
- f'(x₀) là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x₀.
- Tiếp tuyến: y = f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀).
- Vận tốc tức thời v(t) = s'(t).