← Bài giảng
Cấp số nhân
Cấp số nhân là dãy mà mỗi số hạng bằng số hạng trước nhân với một số không đổi — mô hình của lãi kép, tăng dân số, phân rã phóng xạ.
Kiến thức
uₙ₊₁ = uₙ · q với mọi n; q gọi là công bội.
Số hạng tổng quát: uₙ = u₁ · qⁿ⁻¹.
Tổng n số hạng đầu (q ≠ 1): Sₙ = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q).
Gửi A đồng, lãi suất r mỗi kì, lãi nhập vốn: sau n kì có A(1 + r)ⁿ đồng.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Cấp số nhân có u₁ = 3, q = 2. Tính u₆ và S₆.
- u₆ = 3 · 2⁵ = 96.
- S₆ = 3(1 − 2⁶)/(1 − 2) = 3 · 63 = 189.
Đáp số: u₆ = 96, S₆ = 189
Ví dụ 2: Gửi 100 triệu đồng, lãi kép 8% một năm. Sau 2 năm có bao nhiêu?
- Mỗi năm nhân với 1,08.
- 100 · 1,08² = 116,64.
Đáp số: 116,64 triệu đồng
Lỗi hay gặp
- Dùng qⁿ thay cho qⁿ⁻¹. uₙ = u₁·qⁿ⁻¹: số mũ là n - 1.
- Nhầm lãi kép với lãi đơn. Lãi kép: lãi nhập vào vốn, số tiền nhân với (1 + r) mỗi kì.
- Quên lấy căn khi tìm công bội. u₅ = u₂·q³ nên u₅/u₂ = q³, phải lấy căn bậc ba.
- Tính sai tổng cấp số nhân. Sₙ = u₁(1 - qⁿ)/(1 - q); đừng dừng ở số hạng cuối.
Lưu ý khi làm bài
- Số mũ của q trong uₙ là n − 1, không phải n.
Ghi nhớ trước khi luyện
- uₙ = u₁·qⁿ⁻¹.
- Sₙ = u₁(1 - qⁿ)/(1 - q) với q ≠ 1.
- Lãi kép: sau n kì, số tiền là A(1 + r)ⁿ.