Vị trí tương đối, góc và khoảng cách

Có phương trình của đường thẳng là tính được mọi quan hệ: hai đường cắt, song song hay trùng; góc giữa chúng; khoảng cách từ một điểm tới chúng.

Kiến thức

Khoảng cách từ M(x₀; y₀) đến Δ: ax + by + c = 0 là d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²).

Góc giữa hai đường thẳng có pháp tuyến n₁, n₂: cos φ = |n₁ · n₂| / (|n₁| · |n₂|), và 0° ≤ φ ≤ 90°.

Vị trí tương đối (hệ số khác 0): a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ thì cắt nhau; a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ thì song song; cả ba tỉ số bằng nhau thì trùng nhau.

Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ M(1; 2) đến đường thẳng 3x + 4y − 1 = 0.

Đáp số: d = 2

Ví dụ 2: Tính góc giữa hai đường thẳng 2x − y + 1 = 0 và x − 3y + 2 = 0.

Đáp số: φ = 45°

Ví dụ 3: Xét vị trí của x − 2y + 1 = 0 và 2x − 4y + 5 = 0.

Đáp số: Song song

Lỗi hay gặp

Khoảng cách quên chia mẫu. Tính xong tử số còn phải chia cho căn của tổng bình phương hai hệ số.
Cùng pháp tuyến lại tưởng vuông góc. Hai pháp tuyến cùng phương thì hai đường SONG SONG, vuông góc thì tích vô hướng bằng 0.
Đoán bừa số đo góc. Phải tính cosin rồi mới tra ra góc, không đoán theo hình vẽ.
Nhầm song song với trùng nhau. Cả ba tỉ số bằng nhau mới là trùng; chỉ hai tỉ số đầu bằng nhau thì song song.
Góc hai đường quên trị tuyệt đối. Góc giữa hai đường thẳng luôn từ 0° tới 90°, nên cosin phải lấy trị tuyệt đối.
Mẫu số khoảng cách quên lấy căn. Mẫu là CĂN của a² + b², không phải chính a² + b².

Góc giữa hai ĐƯỜNG THẲNG không vượt 90°: tích vô hướng âm thì vẫn lấy trị tuyệt đối.

Ghi nhớ trước khi luyện

Khoảng cách từ M(x₀; y₀) đến ax + by + c = 0 là |ax₀ + by₀ + c| chia √(a² + b²).
Trị tuyệt đối ở tử là thứ bảo đảm khoảng cách không âm.
Góc giữa hai ĐƯỜNG THẲNG luôn từ 0° đến 90°, nên cosin phải lấy trị tuyệt đối.
Hai tỉ số đầu bằng nhau thì song song; cả ba tỉ số bằng nhau thì trùng nhau.