← Bài giảng

Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng biến hai vectơ thành MỘT SỐ. Số ấy cho biết hai vectơ tạo góc nhọn, vuông hay tù — và tính được chính xác góc giữa chúng.

Kiến thức

Định nghĩa: vectơ u · vectơ v = |u| · |v| · cos(u, v), với (u, v) là góc giữa hai vectơ, từ 0° đến 180°.

Theo toạ độ: u = (x₁; y₁), v = (x₂; y₂) thì u · v = x₁x₂ + y₁y₂.

Hai vectơ khác vectơ-không vuông góc khi và chỉ khi u · v = 0.

Góc giữa hai vectơ: cos(u, v) = (u · v) / (|u| · |v|).

Ví dụ giải mẫu

Ví dụ 1: Hai vectơ u = (2; 3) và v = (3; −2) có vuông góc không?

  1. u · v = 2 · 3 + 3 · (−2) = 6 − 6 = 0.
  2. Tích vô hướng bằng 0.

Đáp số: Có, hai vectơ vuông góc

Ví dụ 2: Tính góc giữa u = (1; 2) và v = (3; 1).

  1. u · v = 3 + 2 = 5; |u| = √5, |v| = √10.
  2. cos(u, v) = 5 / (√5 · √10) = 5/√50 = 1/√2.

Đáp số: 45°

Lưu ý khi làm bài

  • Kết quả là một SỐ, không phải vectơ — viết "u · v = (6; −6)" là sai ngay từ dạng.

Ghi nhớ trước khi luyện

  • Theo toạ độ: u·v = x₁x₂ + y₁y₂ — kết quả là một SỐ, không phải vectơ.
  • Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.
  • Dấu của tích vô hướng cho biết góc: dương thì nhọn, bằng 0 thì vuông, âm thì tù.
Luyện ngay