Tích của một vectơ với một số
Nhân vectơ với một số là kéo dài hoặc thu ngắn nó, và nếu số âm thì quay ngược chiều.
Kiến thức
Với số k ≠ 0 và vectơ a ≠ 0: vectơ k·a cùng hướng với a khi k > 0, ngược hướng khi k < 0, và có độ dài |k| · |a|.
Hai vectơ a, b (b ≠ 0) cùng phương khi và chỉ khi có số k để a = k · b. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi vectơ AB = k · vectơ AC.
M là trung điểm AB thì vectơ MA + vectơ MB = 0, và vectơ OA + vectơ OB = 2 · vectơ OM với mọi điểm O.
G là trọng tâm tam giác ABC thì vectơ GA + vectơ GB + vectơ GC = 0; với trung tuyến AM thì vectơ AG = (2/3) · vectơ AM.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Tam giác ABC, M là trung điểm BC. Biểu diễn vectơ AM theo vectơ AB và vectơ AC.
- M là trung điểm BC nên vectơ AB + vectơ AC = 2 · vectơ AM (lấy O là A).
- Chia hai vế cho 2.
Đáp số: vectơ AM = (1/2) · vectơ AB + (1/2) · vectơ AC
Ví dụ 2: G là trọng tâm tam giác ABC, trung tuyến AM dài 9. Tính AG.
- vectơ AG = (2/3) · vectơ AM.
- AG = (2/3) · 9.
Đáp số: AG = 6
Lỗi hay gặp
- Hệ thức trung điểm nhầm dấu trừ. Hệ thức trung điểm dùng phép CỘNG hai vectơ, không phải phép trừ.
- Nhầm trung điểm với trọng tâm. Trung điểm đi với hệ số 2, trọng tâm đi với hệ số 3.
- Tưởng vectơ cùng phương làm cơ sở. Hai vectơ cùng phương chỉ phủ được một đường thẳng, không phủ nổi mặt phẳng.
- Hệ số dương lại tưởng ngược hướng. Hệ số dương thì hai vectơ CÙNG hướng; ngược hướng chỉ khi hệ số âm.
- Hệ số lớn hơn 1 vẫn tưởng nằm giữa. Hệ số lớn hơn 1 đẩy điểm ra NGOÀI đoạn, xa hơn cả đầu mút kia.
- Nhầm hệ số với vị trí trung điểm. Hệ số bằng một nửa mới cho trung điểm; hệ số khác thì điểm nằm chỗ khác.
- Hệ thức trung điểm quên hệ số 2. Tổng hai vectơ từ O tới hai đầu mút bằng HAI LẦN vectơ từ O tới trung điểm.
- Quên tổng hai vectơ tại trung điểm. Từ chính trung điểm nhìn ra hai đầu mút thì tổng hai vectơ bằng vectơ không.
- Tưởng cách phân tích không duy nhất. Với một cơ sở đã chọn, mỗi vectơ có ĐÚNG MỘT bộ hệ số.
- Nhầm cùng phương với cùng hướng. Cùng phương gồm cả cùng chiều lẫn ngược chiều; cùng hướng thì chỉ có cùng chiều.
- Hệ thức trọng tâm quên đổi dấu. Tổng ba vectơ từ G bằng vectơ không, nên hai vectơ kia bằng ĐỐI của vectơ còn lại.
- Trọng tâm sai tỉ lệ trên trung tuyến. Trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ lệ hai phần ba tính TỪ ĐỈNH.
- Tưởng hai vectơ ngược hướng bằng nhau. Đổi thứ tự hai chữ cái là đổi hướng: AB và BA là hai vectơ ĐỐI NHAU.
Lưu ý khi làm bài
- Số k âm đổi HƯỚNG, còn độ dài luôn nhân với |k| — độ dài không bao giờ âm.
Ghi nhớ trước khi luyện
- Dấu của hệ số quyết định HƯỚNG, còn độ lớn quyết định ĐỘ DÀI — hai việc tách rời.
- M là trung điểm AB thì OA + OB = 2·OM với mọi điểm O.
- G là trọng tâm tam giác ABC thì GA + GB + GC = 0, và AG = (2/3)·AM.
- Hai vectơ KHÔNG cùng phương làm thành một cơ sở; mỗi vectơ có đúng một bộ hệ số.