Phương trình đường thẳng
Một đường thẳng được xác định khi biết một điểm của nó và một hướng. Hướng ấy cho bằng vectơ chỉ phương (dọc theo đường) hoặc vectơ pháp tuyến (vuông góc với đường).
Kiến thức
Vectơ pháp tuyến n ≠ 0 có giá vuông góc với đường thẳng; vectơ chỉ phương u ≠ 0 có giá song song hoặc trùng đường thẳng.
Phương trình tổng quát qua M(x₀; y₀), pháp tuyến n = (a; b): a(x − x₀) + b(y − y₀) = 0, khai triển thành ax + by + c = 0.
Phương trình tham số qua M(x₀; y₀), chỉ phương u = (u₁; u₂): x = x₀ + u₁t, y = y₀ + u₂t.
Đổi chỉ phương (u₁; u₂) sang pháp tuyến: đảo chỗ và đổi dấu một thành phần, được (u₂; −u₁).
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua M(1; 2), có vectơ pháp tuyến n = (3; −1).
- 3(x − 1) − 1 · (y − 2) = 0.
- Khai triển: 3x − 3 − y + 2 = 0.
Đáp số: 3x − y − 1 = 0
Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua A(1; 1) và B(3; 5).
- Chỉ phương vectơ AB = (2; 4), cùng phương với (1; 2).
- Pháp tuyến (2; −1): 2(x − 1) − (y − 1) = 0.
- Kiểm tra với B: 2 · 3 − 5 − 1 = 0, đúng.
Đáp số: 2x − y − 1 = 0
Lỗi hay gặp
- Nhầm pháp tuyến với chỉ phương. Hệ số của x và y là vectơ PHÁP TUYẾN; chỉ phương thì đảo chỗ và đổi dấu một thành phần.
- Quên đổi dấu hằng số khi khai triển. Khai triển a(x − x₀) cho ra −a·x₀, nhớ giữ dấu trừ.
- Quên thay điểm đã cho vào. Em chép lại phương trình cũ; đường mới phải đi qua điểm M nên hằng số phải đổi.
- Làm ngược song song với vuông góc. Song song thì giữ nguyên pháp tuyến; vuông góc mới đảo chỗ và đổi dấu.
- Tưởng pháp tuyến là duy nhất. Nhân vectơ pháp tuyến với số khác 0 vẫn ra pháp tuyến, nên có vô số.
Lưu ý khi làm bài
- Hệ số của x và y trong ax + by + c = 0 là vectơ PHÁP TUYẾN, không phải chỉ phương.
- Một đường thẳng có vô số phương trình tổng quát: nhân cả phương trình với một số khác 0 vẫn là nó.
Ghi nhớ trước khi luyện
- Qua M(x₀; y₀) với pháp tuyến (a; b): a(x − x₀) + b(y − y₀) = 0.
- Hệ số của x và y trong phương trình tổng quát CHÍNH LÀ vectơ pháp tuyến.
- Đổi chỉ phương (u₁; u₂) thành pháp tuyến bằng cách đảo chỗ và đổi dấu: (u₂; −u₁).
- Một đường thẳng có VÔ SỐ vectơ pháp tuyến, chúng cùng phương với nhau.