Mệnh đề
Mọi lập luận toán học được ghép từ những câu khẳng định có đúng có sai rõ ràng. Mệnh đề là viên gạch nhỏ nhất ấy — và biết phủ định, đảo, kéo theo cho đúng là biết lập luận cho đúng.
Kiến thức
Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai. "7 là số nguyên tố" (đúng) và "√9 = 4" (sai) đều là mệnh đề.
Câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh không phải mệnh đề. Câu có biến như "x > 2" là mệnh đề chứa biến: chỉ thành mệnh đề khi gán giá trị cho x.
Phủ định của P (kí hiệu P̄) đúng khi P sai và sai khi P đúng. Phủ định của "∀x ∈ X, P(x)" là "∃x ∈ X, P(x) không đúng"; phủ định của "∃x ∈ X, P(x)" là "∀x ∈ X, P(x) không đúng".
Mệnh đề "P ⇒ Q" (nếu P thì Q) chỉ sai khi P đúng mà Q sai. Mệnh đề đảo của nó là "Q ⇒ P".
Khi P ⇒ Q đúng: P là điều kiện đủ để có Q, Q là điều kiện cần để có P. Nếu cả P ⇒ Q và Q ⇒ P cùng đúng thì P ⇔ Q (P là điều kiện cần và đủ để có Q).
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Viết mệnh đề phủ định của "∀x ∈ ℝ, x² + 1 > 0".
- Đổi lượng từ ∀ thành ∃.
- Đổi tính chất "> 0" thành "≤ 0".
Đáp số: ∃x ∈ ℝ, x² + 1 ≤ 0 (mệnh đề này sai, vì mệnh đề ban đầu đúng)
Ví dụ 2: Phát biểu mệnh đề đảo của "Nếu một số tự nhiên chia hết cho 10 thì nó chia hết cho 5" và xét tính đúng sai.
- Đổi chỗ giả thiết và kết luận: "Nếu một số tự nhiên chia hết cho 5 thì nó chia hết cho 10".
- Số 15 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 10.
Đáp số: Mệnh đề đảo sai
Ví dụ 3: "Tứ giác ABCD là hình vuông" là điều kiện gì để có "tứ giác ABCD có bốn cạnh bằng nhau"?
- Hình vuông thì có bốn cạnh bằng nhau: chiều thuận đúng, nên là điều kiện đủ.
- Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau mà không là hình vuông: chiều đảo sai, nên không phải điều kiện cần.
Đáp số: Điều kiện đủ, nhưng không phải điều kiện cần
Lỗi hay gặp
- Nhầm mệnh đề đảo với phủ định. Mệnh đề đảo chỉ đổi chỗ P và Q, không thêm chữ "không" vào hai vế.
- Coi câu chứa biến là mệnh đề. Câu chứa biến như "x + 3 > 5" chưa có tính đúng sai xác định, nên chưa phải mệnh đề.
- Coi câu hỏi, cảm thán là mệnh đề. Câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh không khẳng định điều gì nên không phải mệnh đề.
- Nhầm điều kiện cần với đủ. P ⇒ Q đúng thì P là điều kiện ĐỦ để có Q, còn Q là điều kiện CẦN để có P.
- Chép lại mệnh đề thay vì đảo. Mệnh đề đảo của "P ⇒ Q" là "Q ⇒ P": phải đổi chỗ giả thiết và kết luận.
- Phủ định giữ nguyên lượng từ. Phủ định của "mọi x" là "có một x", không phải "mọi x" với tính chất ngược lại.
- Phủ định chỉ đổi lượng từ. Phủ định phải đổi CẢ lượng từ lẫn tính chất: ∀x, P(x) thành ∃x, không P(x).
- Phủ định sai dấu so sánh. Ngược của > là ≤ (không phải <), ngược của = là ≠ (không phải > hay <).
- Tưởng mệnh đề đảo luôn đúng. P ⇒ Q đúng không kéo theo Q ⇒ P đúng; phải xét riêng mệnh đề đảo.
Lưu ý khi làm bài
- Phủ định của "a > b" là "a ≤ b", không phải "a < b".
- P ⇒ Q đúng không có nghĩa mệnh đề đảo Q ⇒ P đúng.
Ghi nhớ trước khi luyện
- Mệnh đề là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai xác định; mệnh đề SAI vẫn là mệnh đề.
- Phủ định của "∀x, P(x)" là "∃x, không P(x)"; phủ định của "∃x, P(x)" là "∀x, không P(x)".
- Mệnh đề đảo của "P ⇒ Q" là "Q ⇒ P" — đổi chỗ, không thêm chữ "không".
- P ⇒ Q đúng thì P là điều kiện ĐỦ để có Q, Q là điều kiện CẦN để có P.