Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

Tập hợp là ngôn ngữ chung để nói về "những số thoả điều kiện này" — tập nghiệm, tập xác định, miền giá trị đều là tập hợp. Ba phép toán giao, hợp, hiệu dùng suốt chương trình cấp ba.

Kiến thức

A ⊂ B (A là tập con của B) khi mọi phần tử của A đều thuộc B. Tập có k phần tử có 2^k tập con, kể cả tập rỗng ∅ và chính nó.

Giao A ∩ B: các phần tử thuộc cả A và B. Hợp A ∪ B: các phần tử thuộc A hoặc thuộc B. Hiệu A \ B: các phần tử thuộc A mà không thuộc B. Khi B ⊂ A, hiệu A \ B gọi là phần bù của B trong A.

Các tập con thường gặp của ℝ: khoảng (a; b), đoạn [a; b], nửa khoảng [a; b), (a; b], và các khoảng vô hạn như (−∞; a], (a; +∞). Ngoặc vuông là có lấy đầu mút, ngoặc tròn là không.

Sơ đồ Ven (xem hình) cho công thức đếm: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).

Ví dụ giải mẫu

Ví dụ 1: Cho A = {1; 2; 3; 4} và B = {3; 4; 5}. Tìm A ∩ B, A ∪ B, A \ B.

Phần chung: 3 và 4.
Gộp tất cả, mỗi phần tử viết một lần; bỏ khỏi A những phần tử thuộc B.

Đáp số: A ∩ B = {3; 4}, A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5}, A \ B = {1; 2}

Ví dụ 2: Cho A = [−1; 3) và B = (1; 5]. Tìm A ∩ B và A ∪ B.

Vẽ hai tập trên trục số. Phần chung chạy từ 1 (của B, không lấy) tới 3 (của A, không lấy).
Hợp chạy từ −1 (của A, có lấy) tới 5 (của B, có lấy).

Đáp số: A ∩ B = (1; 3), A ∪ B = [−1; 5]

Ví dụ 3: Lớp có 30 học sinh; 17 học sinh thích Toán, 15 học sinh thích Ngữ văn, 6 học sinh thích cả hai môn. Có bao nhiêu học sinh không thích môn nào trong hai môn đó?

Thích ít nhất một môn: 17 + 15 − 6 = 26.
Không thích môn nào: 30 − 26 = 4.

Đáp số: 4 học sinh

Lỗi hay gặp

Sai ngoặc ở đầu mút. Đầu mút thuộc kết quả khi nó thuộc (các) tập mà phép toán đòi; ngoặc vuông là có lấy, ngoặc tròn là không.
Đếm sai số tập con. Mỗi phần tử tự do có hai khả năng (có hoặc không), nên k phần tử tự do cho 2^k tập.
Nhầm giao với hợp. Giao là phần chung của hai tập; hợp là gộp tất cả phần tử của cả hai tập.
Quên trừ phần chung. Cộng hai nhóm thì phần chung bị đếm hai lần: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B).
Quên lấy tổng trừ đi. Số phần tử không thuộc nhóm nào là tổng số trừ đi số phần tử thuộc ít nhất một nhóm.
Lấy hiệu theo thứ tự ngược. A \ B gồm phần tử của A không thuộc B — khác với B \ A.

Lưu ý khi làm bài

Cộng thẳng 17 + 15 là đếm những học sinh thích cả hai môn HAI lần.

Ghi nhớ trước khi luyện

A ∩ B: thuộc cả hai; A ∪ B: thuộc ít nhất một; A \ B: thuộc A mà không thuộc B.
Ngoặc tròn là không lấy đầu mút, ngoặc vuông là có lấy đầu mút.
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B).
Tập hợp có k phần tử thì có 2^k tập con.

Luyện ngay