Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Ba công thức đếm cho ba câu hỏi khác nhau: xếp hết theo thứ tự, chọn một phần có thứ tự, chọn một phần không kể thứ tự.

Kiến thức

Hoán vị: xếp n phần tử theo thứ tự. Số hoán vị Pₙ = n! = 1 · 2 · … · n.

Chỉnh hợp chập k của n: chọn k phần tử rồi xếp theo thứ tự. Aₙᵏ = n! / (n − k)!.

Tổ hợp chập k của n: chọn k phần tử, không kể thứ tự. Cₙᵏ = n! / (k! (n − k)!); và Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ.

Câu hỏi để phân biệt: đổi chỗ hai phần tử đã chọn có ra cách mới không? Có thì chỉnh hợp, không thì tổ hợp.

Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách chọn một chủ tịch và một phó chủ tịch từ 10 người?

Đáp số: 90 cách

Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách chọn 3 người từ 10 người để đi công tác?

Đáp số: 120 cách

Lỗi hay gặp

Nhầm chỉnh hợp với tổ hợp. Có kể thứ tự (phân vai, xếp chỗ) là chỉnh hợp; chỉ chọn nhóm là tổ hợp.
Nhầm quy tắc cộng với quy tắc nhân. Làm theo MỘT TRONG các cách thì cộng; làm LẦN LƯỢT nhiều bước thì nhân.
Đếm trùng khi xử lí "ít nhất một". Chọn sẵn một người rồi chọn tùy ý phần còn lại sẽ đếm một nhóm nhiều lần — dùng phần bù.
Chọn gộp, không tách từng nhóm. Đề đòi đúng số người mỗi nhóm thì chọn riêng từng nhóm rồi nhân.
Quên trừ phần bù. Đếm bằng phần bù: tất cả trừ đi các trường hợp không thoả mãn.
Quên giai thừa khi hoán vị. Số cách xếp n phần tử là n! = 1 · 2 · ... · n, không phải n.

Ghi nhớ trước khi luyện