Hàm số bậc hai
Đồ thị của y = ax² + bx + c là một parabol. Mọi tính chất quan trọng — đồng biến, nghịch biến, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất — đều đọc ra từ đỉnh của nó.
Kiến thức
Hàm số bậc hai: y = ax² + bx + c với a ≠ 0. Đồ thị là parabol có đỉnh I(−b/(2a); −Δ/(4a)), với Δ = b² − 4ac, và trục đối xứng là đường thẳng x = −b/(2a) (xem hình).
a > 0: bề lõm quay lên; hàm số nghịch biến trên (−∞; −b/(2a)), đồng biến trên (−b/(2a); +∞), giá trị nhỏ nhất bằng tung độ đỉnh.
a < 0: bề lõm quay xuống; đồng biến rồi nghịch biến, giá trị lớn nhất bằng tung độ đỉnh.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Tìm đỉnh, trục đối xứng và khoảng đồng biến, nghịch biến của y = x² − 4x + 3.
- x = −b/(2a) = 4/2 = 2; y(2) = 4 − 8 + 3 = −1. Đỉnh I(2; −1), trục x = 2.
- a = 1 > 0: nghịch biến trên (−∞; 2), đồng biến trên (2; +∞).
Đáp số: I(2; −1); nghịch biến trên (−∞; 2), đồng biến trên (2; +∞); giá trị nhỏ nhất −1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của y = −2x² + 4x + 1.
- a = −2 < 0: giá trị lớn nhất đạt tại đỉnh. x = −4/(−4) = 1.
- y(1) = −2 + 4 + 1 = 3.
Đáp số: 3, đạt tại x = 1
Lỗi hay gặp
- Sai dấu hoành độ đỉnh. Hoành độ đỉnh là -b/(2a) — có dấu trừ phía trước.
- Lấy hệ số c làm tung độ đỉnh. Tung độ đỉnh là giá trị của hàm số tại hoành độ đỉnh, chỉ bằng c khi đỉnh nằm trên Oy.
- Viết trục đối xứng thành y = …. Trục đối xứng của parabol là đường thẳng đứng x = -b/(2a).
- Lấy hoành độ đỉnh làm giá trị. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là TUNG độ đỉnh; hoành độ chỉ cho biết đạt tại đâu.
- Chia khoảng theo tung độ đỉnh. Khoảng đồng biến, nghịch biến chia tại HOÀNH độ đỉnh.
- Nhầm khoảng đồng biến, nghịch biến. a > 0 thì đồng biến bên PHẢI đỉnh; a < 0 thì đồng biến bên TRÁI đỉnh.
Lưu ý khi làm bài
- Khoảng đồng biến, nghịch biến chia tại HOÀNH độ đỉnh; giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là TUNG độ đỉnh.
Ghi nhớ trước khi luyện
- Đỉnh I(-b/(2a); y(-b/(2a))); trục đối xứng là đường thẳng x = -b/(2a).
- a > 0: nghịch biến bên trái đỉnh, đồng biến bên phải, giá trị nhỏ nhất bằng tung độ đỉnh.
- a < 0: ngược lại, giá trị lớn nhất bằng tung độ đỉnh.