Dấu của tam thức bậc hai
Giải bất phương trình bậc hai quy về một câu hỏi: tam thức dương ở đâu, âm ở đâu. Định lí về dấu trả lời câu ấy chỉ bằng dấu của a và các nghiệm.
Kiến thức
Tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0), biệt thức Δ = b² − 4ac.
Δ < 0: f(x) cùng dấu với a với mọi x ∈ ℝ.
Δ = 0: f(x) cùng dấu với a với mọi x ≠ −b/(2a), và bằng 0 tại x = −b/(2a).
Δ > 0, hai nghiệm x₁ < x₂: f(x) cùng dấu với a khi x < x₁ hoặc x > x₂ (ngoài hai nghiệm), trái dấu với a khi x₁ < x < x₂ (giữa hai nghiệm) — xem bảng xét dấu trong hình.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Xét dấu f(x) = x² − x − 6.
- f(x) = 0 khi x = −2 hoặc x = 3; a = 1 > 0.
- Ngoài hai nghiệm cùng dấu a, giữa hai nghiệm trái dấu a.
Đáp số: f(x) > 0 khi x < −2 hoặc x > 3; f(x) < 0 khi −2 < x < 3
Ví dụ 2: Giải bất phương trình −x² + 2x + 3 ≥ 0.
- Nghiệm của tam thức: x = −1 và x = 3; a = −1 < 0.
- Tam thức không âm ở GIỮA hai nghiệm, kể cả hai nghiệm.
Đáp số: S = [−1; 3]
Ví dụ 3: Giải bất phương trình x² + 2x + 5 > 0.
- Δ' = 1 − 5 = −4 < 0.
- a = 1 > 0 nên tam thức luôn dương.
Đáp số: S = ℝ
Lỗi hay gặp
- Nhầm trong và ngoài khoảng nghiệm. Tam thức cùng dấu với a ở ngoài hai nghiệm, trái dấu với a ở giữa hai nghiệm.
- Thiếu một khoảng nghiệm. Phần ngoài hai nghiệm gồm HAI khoảng: bên trái nghiệm nhỏ và bên phải nghiệm lớn.
- Sai ngoặc ở hai nghiệm. Bất phương trình có dấu bằng thì lấy cả hai nghiệm (ngoặc vuông), không có thì bỏ.
- Xử lí sai nghiệm kép. Với nghiệm kép, tam thức bằng 0 tại đúng một điểm và cùng dấu với a ở mọi điểm khác.
- Coi Δ âm như có nghiệm kép. Δ < 0 thì tam thức không có nghiệm nào, không có điểm nào để loại ra hay giữ lại.
- Sai dấu khi Δ âm. Δ < 0 thì tam thức luôn cùng dấu với a: a > 0 luôn dương, a < 0 luôn âm.
Lưu ý khi làm bài
- Có dấu bằng (≥, ≤) thì lấy luôn các nghiệm của tam thức; không có thì bỏ.
Ghi nhớ trước khi luyện
- Δ < 0: f(x) cùng dấu với a với mọi x.
- Δ = 0: f(x) cùng dấu với a với mọi x khác nghiệm kép.
- Δ > 0: f(x) cùng dấu với a ở NGOÀI hai nghiệm, trái dấu với a ở GIỮA hai nghiệm.