← Bài giảng
Định lí cosin
Định lí Pythagore chỉ dùng được cho tam giác vuông. Định lí cosin dùng được cho mọi tam giác: biết hai cạnh và góc xen giữa thì tính được cạnh còn lại, biết ba cạnh thì tính được mọi góc.
Kiến thức
Quy ước: trong tam giác ABC, a = BC, b = CA, c = AB — mỗi cạnh mang tên chữ thường của góc ĐỐI DIỆN nó (xem hình).
Định lí cosin: a² = b² + c² − 2bc · cos A. Tương tự b² = c² + a² − 2ca · cos B và c² = a² + b² − 2ab · cos C.
Rút ngược: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc).
Góc A vuông thì cos A = 0 và công thức trở về a² = b² + c²: định lí Pythagore là một trường hợp riêng.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Tam giác ABC có b = 3, c = 5, góc A = 120°. Tính a.
- a² = 3² + 5² − 2 · 3 · 5 · cos 120° = 9 + 25 − 30 · (−1/2).
- a² = 34 + 15 = 49.
Đáp số: a = 7
Ví dụ 2: Tam giác ABC có a = 7, b = 5, c = 8. Tính góc A.
- cos A = (b² + c² − a²) / (2bc) = (25 + 64 − 49) / (2 · 5 · 8).
- cos A = 40/80 = 1/2.
Đáp số: A = 60°
Lỗi hay gặp
- Bỏ mất số hạng 2bc·cos A. Em dùng Pythagore, nhưng tam giác này không vuông nên phải giữ số hạng 2bc·cos A.
- Định lí cosin cộng thẳng hai cạnh. Cạnh thứ ba không bằng tổng hai cạnh kia; phải bình phương rồi trừ số hạng 2bc·cos A.
- Quên cạnh lớn đối góc lớn. Trong một tam giác, cạnh dài hơn luôn đối diện góc lớn hơn.
- Định lí cosin nhầm cạnh đối. Trong công thức, cạnh bị trừ bình phương là cạnh ĐỐI DIỆN góc đang tính.
- Quên chia 2bc khi tìm cos. Rút cos A ra thì phải chia cả tử cho 2bc, không dừng lại ở tử số.
- Nhận dạng nhầm tam giác nhọn tù. Chỉ cần xét dấu của b² + c² − a²: âm thì góc A tù, dương thì nhọn.
Lưu ý khi làm bài
- Góc tù có cosin âm, nên số hạng −2bc · cos A thành DƯƠNG: cạnh đối diện góc tù là cạnh dài nhất.
- Tử số b² + c² − a² âm thì góc A tù, bằng 0 thì vuông, dương thì nhọn — đọc dấu trước khi bấm máy.
Ghi nhớ trước khi luyện
- a² = b² + c² − 2bc·cos A, trong đó a là cạnh ĐỐI DIỆN góc A.
- Góc A vuông thì cos A = 0 và công thức thu về đúng định lí Pythagore.
- Rút ngược: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc) — dấu của tử cho biết góc nhọn hay tù.