Trung trực, phân giác, đường cao. Các điểm đồng quy
Mỗi tam giác có bốn bộ ba đường đặc biệt, và mỗi bộ ba đều gặp nhau tại một điểm có tính chất riêng đáng nhớ.
Kiến thức
Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường vuông góc với AB tại trung điểm của AB. Điểm nằm trên đường trung trực thì cách đều A và B; ngược lại, điểm cách đều A và B thì nằm trên đường trung trực.
Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.
Đường cao của tam giác là đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh xuống đường thẳng chứa cạnh đối diện.
Ba đường trung trực gặp nhau tại một điểm cách đều ba đỉnh. Ba đường phân giác gặp nhau tại một điểm cách đều ba cạnh. Ba đường cao gặp nhau tại trực tâm. Ba đường trung tuyến gặp nhau tại trọng tâm.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Ba khu nhà A, B, C không thẳng hàng. Cần đặt một trạm phát sóng cách đều ba khu nhà. Đặt trạm ở đâu?
- Cách đều hai điểm A và B thì trạm phải nằm trên đường trung trực của AB.
- Cách đều cả ba điểm thì trạm phải nằm trên cả ba đường trung trực của tam giác ABC.
- Ba đường trung trực gặp nhau tại một điểm — đặt trạm ở đó.
Đáp số: Tại giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC
Ví dụ 2: Đường trung trực của AB và đường trung trực của AC trong tam giác ABC cắt nhau tại O, biết OA = 5 cm. Tính OB và OC.
- O nằm trên đường trung trực của AB nên OB = OA = 5 cm.
- O nằm trên đường trung trực của AC nên OC = OA = 5 cm.
- Vì OB = OC nên O cũng nằm trên đường trung trực của BC.
Đáp số: OB = OC = 5 cm
Lỗi hay gặp
- Nhầm các đường đồng quy. Cách đều ba ĐỈNH là trung trực, cách đều ba CẠNH là phân giác; trực tâm là ba đường cao.
- Tính sai khoảng cách bằng nhau. Cách đều nghĩa là hai khoảng cách BẰNG nhau — em không nhân đôi hay chia đôi.
Lưu ý khi làm bài
- Đường trung trực phải đi qua TRUNG ĐIỂM và VUÔNG GÓC với đoạn thẳng — thiếu một trong hai điều thì không phải đường trung trực.
- Đừng lẫn đường cao với đường trung tuyến: đường cao vuông góc với cạnh, đường trung tuyến đi tới trung điểm cạnh.
Ghi nhớ trước khi luyện
- Điểm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút; điểm trên tia phân giác của góc thì cách đều hai cạnh.
- Ba đường trung trực gặp nhau tại điểm cách đều ba ĐỈNH; ba đường phân giác gặp nhau tại điểm cách đều ba CẠNH.
- Ba đường cao gặp nhau tại TRỰC TÂM; ba đường trung tuyến gặp nhau tại TRỌNG TÂM.