← Bài giảng
Ứng dụng hình học của tích phân
Tích phân đo được diện tích những hình có biên cong (xem hình) và thể tích những khối tròn xoay.
Kiến thức
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục hoành, x = a, x = b: S = ∫ₐᵇ |f(x)| dx.
Giữa hai đồ thị y = f(x), y = g(x): S = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx — trên đoạn nào hàm nào ở trên thì lấy hàm trên trừ hàm dưới.
Quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox, x = a, x = b quanh Ox: V = π∫ₐᵇ f²(x) dx.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x², trục hoành, x = 0, x = 2.
- S = ∫₀² x² dx.
- = x³/3 từ 0 đến 2 = 8/3.
Đáp số: 8/3
Ví dụ 2: Quay hình phẳng giới hạn bởi y = x, trục Ox, x = 0, x = 3 quanh Ox. Tính thể tích.
- V = π∫₀³ x² dx.
- = π · 27/3 = 9π.
Đáp số: 9π
Lỗi hay gặp
- Tính sai tích phân thể tích. Bình phương hàm số trước, rồi mới lấy nguyên hàm và chia cho số mũ mới.
- Quên π trong công thức thể tích. Thể tích khối tròn xoay: V = π∫f²(x) dx.
- Để diện tích âm. Diện tích lấy TRỊ TUYỆT ĐỐI của tích phân khi hàm số âm trên đoạn.
- Quên trừ hàm số phía dưới. Diện tích giữa hai đồ thị: tích phân của (hàm trên - hàm dưới).
- Tính diện tích bằng đạo hàm. Diện tích là TÍCH PHÂN của hàm số, không phải đạo hàm hay giá trị.
Lưu ý khi làm bài
- Hàm số âm trên đoạn thì tích phân âm; diện tích phải lấy trị tuyệt đối.
Ghi nhớ trước khi luyện
- Diện tích giữa y = f(x), y = g(x), x = a, x = b: S = ∫ₐᵇ |f(x) - g(x)| dx.
- Quay quanh Ox: V = π∫ₐᵇ f²(x) dx.