← Bài giảng
Phương trình lượng giác cơ bản
Hàm lượng giác tuần hoàn nên phương trình lượng giác có vô số nghiệm, viết thành các họ nghiệm có tham số k ∈ ℤ.
Kiến thức
sin x = sin α ⇔ x = α + k2π hoặc x = π − α + k2π (k ∈ ℤ). Phương trình sin x = m vô nghiệm khi |m| > 1.
cos x = cos α ⇔ x = α + k2π hoặc x = −α + k2π, viết gọn x = ±α + k2π.
tan x = tan α ⇔ x = α + kπ.
Phương trình bậc hai theo sin x (hoặc cos x): đặt t, giải rồi loại giá trị t nằm ngoài [−1; 1].
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Giải phương trình cos x = √3/2.
- √3/2 = cos(π/6).
- Áp dụng công thức nghiệm của cos.
Đáp số: x = ±π/6 + k2π (k ∈ ℤ)
Ví dụ 2: Giải phương trình 2sin²x − sin x − 1 = 0.
- Đặt t = sin x: 2t² − t − 1 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = −1/2.
- sin x = 1 ⇔ x = π/2 + k2π.
- sin x = −1/2 ⇔ x = −π/6 + k2π hoặc x = 7π/6 + k2π.
Đáp số: x = π/2 + k2π; x = −π/6 + k2π; x = 7π/6 + k2π
Lỗi hay gặp
- Dùng công thức nghiệm sai loại. sin: x = α hoặc π - α; cos: x = ±α — mỗi loại một công thức riêng.
- Viết sai chu kì của họ nghiệm. sin, cos lặp lại sau k2π; tan lặp lại sau kπ.
- Chọn sai góc đặc biệt. Tìm đúng góc α có giá trị lượng giác bằng vế phải, kể cả dấu.
- Đếm thiếu nghiệm trong khoảng. sin kx = m quét k vòng khi x chạy một vòng: số nghiệm nhân lên k lần.
- Quên điều kiện -1 ≤ sin x ≤ 1. Đặt t = sin x (hoặc cos x) thì phải loại giá trị t nằm ngoài [-1; 1].
Lưu ý khi làm bài
- Nghiệm của sin có hai họ (α và π − α); nghiệm của cos cũng hai họ nhưng viết gọn thành ±α.
Ghi nhớ trước khi luyện
- sin x = sin α ⇔ x = α + k2π hoặc x = π - α + k2π.
- cos x = cos α ⇔ x = ±α + k2π.
- tan x = tan α ⇔ x = α + kπ.