Ba đường conic
Quỹ đạo hành tinh là elip, gương đèn pha có mặt cắt parabol, tháp làm mát có mặt cắt hypebol. Ba đường này được định nghĩa bằng khoảng cách tới những điểm cố định gọi là tiêu điểm.
Kiến thức
Elip: tập hợp điểm M có MF₁ + MF₂ = 2a (không đổi). Phương trình chính tắc x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0), với c² = a² − b²; tiêu điểm F₁(−c; 0), F₂(c; 0); trục lớn 2a, trục nhỏ 2b (xem hình).
Hypebol: |MF₁ − MF₂| = 2a. Phương trình chính tắc x²/a² − y²/b² = 1, với c² = a² + b².
Parabol: tập hợp điểm cách đều tiêu điểm F và đường chuẩn Δ. Phương trình chính tắc y² = 2px (p > 0), tiêu điểm F(p/2; 0), đường chuẩn x = −p/2.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1: Tìm tiêu điểm, độ dài trục lớn và trục nhỏ của elip x²/25 + y²/9 = 1.
- a = 5, b = 3; c² = 25 − 9 = 16 nên c = 4.
- Trục lớn 2a = 10, trục nhỏ 2b = 6.
Đáp số: F₁(−4; 0), F₂(4; 0); trục lớn 10, trục nhỏ 6
Ví dụ 2: Tìm tiêu điểm của hypebol x²/16 − y²/9 = 1.
- a² = 16, b² = 9.
- c² = 16 + 9 = 25 nên c = 5.
Đáp số: F₁(−5; 0), F₂(5; 0)
Ví dụ 3: Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol y² = 8x.
- 2p = 8 nên p = 4.
- Tiêu điểm (p/2; 0) = (2; 0); đường chuẩn x = −2.
Đáp số: F(2; 0), đường chuẩn x = −2
Lỗi hay gặp
- Nhầm elip với đường tròn. Hai mẫu số khác nhau nên đây là elip; bằng nhau mới thành đường tròn.
- Nhầm elip với hypebol. Hai số hạng cùng dấu cộng là elip; trái dấu mới là hypebol.
- Nhầm elip với parabol. Parabol chỉ có MỘT biến được bình phương, elip thì cả hai.
- Nhầm hai tiêu điểm với nhau. Tiêu điểm bên phải có hoành độ DƯƠNG, bên trái mới mang dấu âm.
- Nhầm trục lớn với trục nhỏ. Trục lớn ứng với mẫu số LỚN HƠN trong phương trình chính tắc.
- Độ dài trục quên nhân đôi. Trục lớn dài 2a chứ không phải a; nhớ nhân đôi ở bước cuối.
- Đặt tiêu điểm sai trục. Tiêu điểm của elip nằm trên TRỤC LỚN, ở đây là trục hoành.
- Parabol nhầm toạ độ tiêu điểm. Từ 2p trong phương trình phải chia đôi ra p rồi chia đôi lần nữa mới ra hoành độ tiêu điểm.
- Tưởng parabol có hai tiêu điểm. Parabol chỉ có MỘT tiêu điểm; elip và hypebol mới có hai.
Lưu ý khi làm bài
- Elip: c² = a² − b² (TRỪ). Hypebol: c² = a² + b² (CỘNG). Nhầm hai dấu này là tiêu điểm sai.
- Nhận dạng: hai số hạng bình phương cùng dấu cộng là elip, trái dấu là hypebol, chỉ một biến bình phương là parabol.
Ghi nhớ trước khi luyện
- Elip: hai số hạng CÙNG dấu cộng. Hypebol: hai số hạng TRÁI dấu. Parabol: chỉ một biến bình phương.
- Elip có c² = a² − b² (trừ); hypebol có c² = a² + b² (cộng).
- Trục lớn dài 2a, trục nhỏ dài 2b — cả hai đều nhân đôi.
- Parabol y² = 2px chỉ có MỘT tiêu điểm, ở (p/2; 0).